Mostre que a sequência ( x_{n} ) tal que x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} é divergente.

Passo 1

O enunciado dá a sequência dos somatórios parciais
x_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}.
O que nos pedem: provar que essa sequência é divergente (ou seja, não converge para um número finito). Em termos claros, precisamos mostrar que
\lim_{n\to\infty} x_n
não existe como número real finito; mais fortemente, mostrar que x_n cresce sem limite, isto é \lim_{n\to\infty} x_n=+\infty.

Passo 2

Primeiro vou explicar duas coisas úteis e simples que usarei:
  • Definição prática: se uma sequência x_n é monotonicamente crescente e não é limitada superiormente (é unbounded), então necessariamente \lim_{n\to\infty} x_n = +\infty. Isso significa que, para qualquer M>0, existe N tal que x_n>M para todo n\ge N.
  • Observação sobre x_n: como todos os termos \dfrac{1}{k} são positivos, cada soma parcial aumenta quando adicionamos mais termos. Formalmente,
x_{n+1}-x_n=\frac{1}{n+1}>0,
logo (x_n) é monotonicamente crescente. Portanto, para provar divergência basta mostrar que (x_n) não é limitada superiormente (ou seja, que fica arbitrariamente grande).

Passo 3

Vou usar um truque clássico de agrupar termos em blocos de tamanho potência de 2. A ideia é comparar cada bloco com um valor fixo para obter um limite inferior que cresce indefinidamente.
Considere os índices n=2^m (potências de 2). Escrevemos x_{2^m} separando o primeiro termo e os blocos:
x_{2^m}=1+\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=2^{\,k-1}+1}^{2^{\,k}}\frac{1}{j}.
Aqui o bloco de nível k é o somatório dos termos cujos índices vão de 2^{k-1}+1 até 2^k. Vou estimar cada um desses blocos por baixo.

Passo 4

Para um bloco fixo k (com k\ge 1) e para cada j no intervalo 2^{k-1}+1\le j\le 2^k vale a desigualdade
j\le 2^k \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{j}\ge\frac{1}{2^k}.
O número de termos nesse bloco é 2^k-(2^{k-1}+1)+1=2^{k-1}. Então a soma do bloco satisfaz
\sum_{j=2^{k-1}+1}^{2^{k}}\frac{1}{j}\ge 2^{k-1}\cdot\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}.
Portanto cada bloco (para todo k\ge1) é pelo menos \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Usando a desigualdade do passo anterior em todos os m blocos, obtemos
x_{2^m}=1+\sum_{k=1}^{m}\sum_{j=2^{k-1}+1}^{2^{k}}\frac{1}{j} \ge 1+\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{2} =1+\frac{m}{2}.
Isso dá um limite inferior explícito para os somatórios nas potências de 2: x_{2^m}\ge 1+\tfrac{m}{2}.

Passo 6

A desigualdade do passo anterior mostra que, fazendo m arbitrariamente grande, x_{2^m} fica arbitrariamente grande. Formalmente, dado qualquer M>0, escolha m tal que
1+\frac{m}{2}>M,
por exemplo m>2(M-1). Então x_{2^m}>M. Como a sequência (x_n) é crescente, para todo n\ge 2^m tem-se x_n\ge x_{2^m}>M. Isso mostra que (x_n) não é limitada superiormente.

Passo 7

Concluindo: (x_n) é crescente e não tem limite superior (fica arbitrariamente grande). Logo
\lim_{n\to\infty} x_n=+\infty,
ou seja, a sequência é divergente.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n=+\infty

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