Mostre que a sequência (
) tal que
é divergente.
Passo 1
O enunciado dá a sequência dos somatórios parciais
O que nos pedem: provar que essa sequência é divergente (ou seja, não converge para um número finito). Em termos claros, precisamos mostrar que
não existe como número real finito; mais fortemente, mostrar que
cresce sem limite, isto é
.
Passo 2
Primeiro vou explicar duas coisas úteis e simples que usarei:
- Definição prática: se uma sequência
é monotonicamente crescente e não é limitada superiormente (é unbounded), então necessariamente . Isso significa que, para qualquer , existe tal que para todo . - Observação sobre
: como todos os termos são positivos, cada soma parcial aumenta quando adicionamos mais termos. Formalmente,
logo
é monotonicamente crescente. Portanto, para provar divergência basta mostrar que
não é limitada superiormente (ou seja, que fica arbitrariamente grande).
Passo 3
Vou usar um truque clássico de agrupar termos em blocos de tamanho potência de
. A ideia é comparar cada bloco com um valor fixo para obter um limite inferior que cresce indefinidamente.
Considere os índices
(potências de
). Escrevemos
separando o primeiro termo e os blocos:
Aqui o bloco de nível
é o somatório dos termos cujos índices vão de
até
. Vou estimar cada um desses blocos por baixo.
Passo 4
Para um bloco fixo
(com
) e para cada
no intervalo
vale a desigualdade
O número de termos nesse bloco é
. Então a soma do bloco satisfaz
Portanto cada bloco (para todo
) é pelo menos
.
Passo 5
Usando a desigualdade do passo anterior em todos os
blocos, obtemos
Isso dá um limite inferior explícito para os somatórios nas potências de
:
.
Passo 6
A desigualdade do passo anterior mostra que, fazendo
arbitrariamente grande,
fica arbitrariamente grande. Formalmente, dado qualquer
, escolha
tal que
por exemplo
. Então
. Como a sequência
é crescente, para todo
tem-se
. Isso mostra que
não é limitada superiormente.
Passo 7
Concluindo:
é crescente e não tem limite superior (fica arbitrariamente grande). Logo
ou seja, a sequência é divergente.