Em cada item, dê um exemplo de sequência satisfazendo a propriedade pedida ou justifique porque não é possível existir uma tal sequência.
(c) Uma sequência convergente ( x_{n} ) cujo conjunto de valores \left\{\left(x_{n}\right): \mathrm{n} \in \mathrm{N}\right\} seja finito.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência convergente cujo conjunto de valores seja finito. Vamos usar o conceito de convergência de sequência e a definição de conjunto imagem (range) de uma sequência para construir um exemplo simples.

Passo 2

Escolhemos uma constante c\in\mathbb{R} e definimos a sequência por
x_n = c,\quad \forall n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Para ver que (x_n) converge a c, note que, dado qualquer \varepsilon>0, temos
|x_n - c| = |c - c| = 0 < \varepsilon
para todo n. Logo
\lim_{n\to\infty}x_n = c.

Passo 4

O conjunto de valores de (x_n) é
\{\,x_n : n\in\mathbb{N}\} = \{\,c\},
que tem exatamente um elemento, isto é, é finito.

Resposta

Por exemplo, a sequência
x_n = 1,\quad n=1,2,3,\dots
converge para 1 e seu conjunto de valores é \{1\}, finito.

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