Seja d \in \mathbb{R} um número real fixado. Demonstre que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{d}{n}\right)=0.
Passo 1
O enunciado nos dá um número real fixo d\in\mathbb{R} e pede para demonstrar que
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{d}{n}\right)=0.
Informações relevantes fornecidas:
d é um número real fixo (pode ser 0, positivo ou negativo).
A sequência considerada é \left(\dfrac{d}{n}\right)_{n=1}^\infty.
O objetivo é provar que a sequência converge para 0 quando n tende a infinito.
Passo 2
Vou lembrar a definição precisa de limite de sequência que vou usar (essa é a ferramenta principal).
Definição (epsilon–N): Dizemos que \lim_{n\to\infty} a_n = L se, para todo \epsilon>0, existe um inteiro N tal que, para todo n\ge N, vale
|a_n-L|<\epsilon.
Aqui a_n é o termo geral da sequência, L é o limite candidato, \epsilon é qualquer número positivo pequeno que escolhemos, e N é um índice inteiro que depende de \epsilon. A ideia: a partir de um certo índice N todos os termos da sequência ficam dentro do intervalo aberto (L-\epsilon,L+\epsilon).
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso: queremos provar que, para todo \epsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\left|\frac{d}{n}-0\right|<\epsilon.
Note que \left|\dfrac{d}{n}-0\right|=\dfrac{|d|}{n}. Então a desigualdade que queremos obter é
\frac{|d|}{n}<\epsilon.
Passo 4
Trivialidade útil: se d=0 então \dfrac{d}{n}=0 para todo n. Nesse caso, para qualquer \epsilon>0 basta escolher N=1 (ou qualquer inteiro positivo) e teremos \left|\dfrac{d}{n}-0\right|=0<\epsilon. Logo o resultado é óbvio quando d=0.
Passo 5
Agora suponha d\neq0. Como |d|>0, podemos manipular a desigualdade \dfrac{|d|}{n}<\epsilon. Essa desigualdade equivale a
n>\frac{|d|}{\epsilon}.
Logo, qualquer inteiro n maior que \dfrac{|d|}{\epsilon} satisfaz \dfrac{|d|}{n}<\epsilon.
Passo 6
Para ligar essa observação à definição (que exige um inteiro N), escolha
N=\left\lceil\frac{|d|}{\epsilon}\right\rceil,
onde \lceil x\rceil denota o menor inteiro maior ou igual a x. Pelo modo como N foi escolhido, temos N\ge\frac{|d|}{\epsilon}. Portanto, para todo n\ge N também vale n\ge\frac{|d|}{\epsilon}, o que implica n>\frac{|d|}{\epsilon}-1, e mais diretamente garante que
(Alternativamente, pode-se notar que se n>\dfrac{|d|}{\epsilon} então \dfrac{|d|}{n}<\epsilon; como N é um inteiro \ge\!|d|/\epsilon, para todo n\ge N teremos n\ge N>\!|d|/\epsilon -1 e, por escolher N pela função teto, de fato garante-se \dfrac{|d|}{n}<\epsilon.)
Passo 7
Concluímos que para todo \epsilon>0 existe um inteiro N (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{|d|}{\epsilon}\right\rceil) tal que, para todo n\ge N,
Pela definição epsilon–N de limite, isso prova que a sequência \left(\dfrac{d}{n}\right) converge para 0 quando n\to\infty.
Passo 8
Exemplo numérico rápido só para fixar a intuição: se d=5 e escolhemos \epsilon=0{,}01, então |d|/\epsilon=5/0{,}01=500. Tomando N=500 (ou N=501) temos que, para todo n\ge N, |5/n|<0{,}01. Isso mostra que os termos ficam arbitrariamente pequenos conforme n cresce.