1. Usando o Teorema do Confronto, prove que
lim n infty an=0, onde an=nn^2+1-cos (n pi2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema do Confronto, que
limntoinftyan = 0,onde an = nn^2+1,cos!l(npi2r)
O conteúdo principal é o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem) aplicado a uma sequência cujo termo geral é o produto de uma parte que tende a zero e de cos(npi/2), que é sempre limitado entre -1 e 1.

Passo 2

Primeiro, usamos que para todo ninN vale
-1 ;<=;cos!l(npi2r);<= 1
Multiplicando essas desigualdades por tfracnn^2+1, que é não negativa para todo n, obtemos
-nn^2+1;<=;nn^2+1cos!l(npi2r);<=;nn^2+1
Em notação de valor absoluto, isso equivale a
l|anr| ;=;gl|nn^2+1cos!l(npi2r)gr| ;<=;nn^2+1

Passo 3

Agora mostramos que a sequência
bn = nn^2+1
tende a zero. De fato, dividindo numerador e denominador por n^2,
nn^2+1 =tfrac1n1+tfrac1n^2 ;xrightarrow[ntoinfty]; 01+0 =0

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto, como
0 ;<=;l|anr|;<=;bn e limntoinftybn=0,
segue que
limntoinftyl|anr|=0 Longrightarrow limntoinftyan=0

Resposta

0

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