Mostre que as sequências são monótona e limitada, portanto, convergente. Calcule o seu limite.
a_{n}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)
a_{n}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é monótona e limitada, daí convergente, e calcular seu limite. O conteúdo usado será definição de sequência monótona, teste de diferença
e limites de potências de base
.
Passo 2
Reescrevemos
numa forma mais conveniente para comparar termos:
Passo 3
Para verificar monotonicidade, calculamos
Como a diferença é sempre positiva,
é estritamente crescente.
Passo 4
Para a parte de limitada, notamos que para todo
vale
logo
é um majorante. E como
é crescente,
é um minorante:
Assim
, ou seja, está limitada.
Passo 5
Pela propriedade geral, toda sequência monótona e limitada é convergente. Resta achar
Resposta
A sequência é estritamente crescente, limitada superiormente por
e inferiormente por
, portanto converge, e