Mostre que as sequências são monótona e limitada, portanto, convergente. Calcule o seu limite.
a_{n}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = 13l(1 - 13^nr)
é monótona e limitada, daí convergente, e calcular seu limite. O conteúdo usado será definição de sequência monótona, teste de diferença an+1-an e limites de potências de base lvert rrvert<1.

Passo 2

Reescrevemos an numa forma mais conveniente para comparar termos:
an = 13 - 13^n+1

Passo 3

Para verificar monotonicidade, calculamos
an+1 - an = l(13 - 13^n+2r) - l(13 - 13^n+1r) = -13^n+2 + 13^n+1 = 23^n+2>0
Como a diferença é sempre positiva, (an) é estritamente crescente.

Passo 4

Para a parte de limitada, notamos que para todo n>=1 vale
an = 13 - 13^n+1 < 13,
logo 13 é um majorante. E como (an) é crescente, a1 é um minorante:
a1 = 13l(1 - 13r) = 29
Assim 29 <= an < 13, ou seja, está limitada.

Passo 5

Pela propriedade geral, toda sequência monótona e limitada é convergente. Resta achar
limntoinftyan = limntoinftyl(13 - 13^n+1r) = 13 - 0 = 13

Resposta

A sequência é estritamente crescente, limitada superiormente por tfrac13 e inferiormente por tfrac29, portanto converge, e
limntoinftyan = 13

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