Mostre se a série converge ou diverge
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \sqrt{\ln k}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \sqrt{\ln k}}
converge ou diverge. O conteúdo é análise de séries de termos positivos e usaremos o teste da integral para séries cujos termos podem ser aproximados por uma função contínua, positiva e decrescente.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x}},
válida para x \ge 2. Observamos que f(x)>0, contínua e decrescente em [2,\infty). Pelo teste da integral, a série \sum f(k) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \, dx
for convergente.

Passo 3

Calculamos a integral por substituição. Seja
t = \ln x \quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{dx}{x}.
Quando x=2, t=\ln 2; e quando x\to\infty, t\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \, dx = \int_{\ln 2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \left[2\sqrt{t}\,\right]_{t=\ln 2}^{t\to\infty} = \lim_{T\to\infty}2\sqrt{T} \;-\;2\sqrt{\ln 2} = \infty.
A integral diverge.

Passo 4

Como a integral imprópria diverge, pelo teste da integral a série
\sum_{k=2}^{\infty} \tfrac{1}{k \sqrt{\ln k}} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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