Mostre se a série converge ou diverge
\sum_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k},
onde a_{k}=\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{k}.
O conteúdo que vamos usar é o teste do termo geral (ou critério da divergência): se
\lim_{k\to\infty}a_{k}\neq 0,
então a série diverge.

Passo 2

Precisamos calcular
\lim_{k\to\infty}a_{k} =\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr)^{k}.
Por definição do número de Euler e, sabe-se que
e=\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}.
Logo,
\lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr)^{k}=e.

Passo 3

Como
\lim_{k\to\infty}a_{k}=e\neq 0,
o termo geral da série não tende a zero. Pelo teste de divergência, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{k} diverge.

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