Calcule a integral usando substituição trigonométrica.
\int \frac{x d x}{x^{2} \sqrt{36-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x\,dx}{x^{2}\,\sqrt{36 - x^{2}}}
usando substituição trigonométrica. Vamos precisar simplificar a expressão e depois usar a substituição x = 6\sin\theta.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando dividindo x por x^2:
\frac{x}{x^2\,\sqrt{36 - x^2}} = \frac{1}{x\,\sqrt{36 - x^2}}.
Então a integral vira
\int \frac{dx}{x\,\sqrt{36 - x^2}}.

Passo 3

Fazemos a substituição trigonométrica
x = 6\sin\theta, \quad dx = 6\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{36 - x^2} = 6\cos\theta.
Nesse caso x\,\sqrt{36 - x^2} = (6\sin\theta)(6\cos\theta)=36\sin\theta\cos\theta.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{dx}{x\sqrt{36 - x^2}} = \int \frac{6\cos\theta\,d\theta}{36\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{6}\int \csc\theta\,d\theta.

Passo 5

Sabemos que
\int \csc\theta\,d\theta = -\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.
Logo
\frac{1}{6}\int \csc\theta\,d\theta = -\frac{1}{6}\ln\bigl|\csc\theta + \cot\theta\bigr| + C.

Passo 6

Volta para x:
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} = \frac{6}{x}, \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{36 - x^2}}{x}.
Então
\csc\theta + \cot\theta = \frac{6 + \sqrt{36 - x^2}}{x},
e a antiderivada final é
-\frac{1}{6}\,\ln\!\biggl|\frac{6 + \sqrt{36 - x^2}}{x}\biggr| + C.

Resposta

\boxed{ -\frac{1}{6}\,\ln\!\biggl|\frac{6 + \sqrt{36 - x^2}}{x}\biggr| + C }.

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