( 2,0 pontos) Investigar a integral imprópria
Passo 1
O enunciado pede para calcular três integrais indefinidas e investigar duas integrais impróprias próprias em valor numérico e convergência. Vamos usar substituições, identidades trigonométricas, frações parciais e mudança trigonométrica.
Passo 2
Calcular
Use a substituição
. Então
Logo
e voltando a
,
Passo 3
Calcular
Use a identidade produto-para-soma
Aqui
,
, então
Integrando,
Passo 4
Calcular
Use
, logo
Integrando,
Voltando a
,
Passo 5
Calcular e investigar
Use
,
,
.
O integrando vira , cuja antiderivada é
. Como
,
O integrando vira
No limite impróprio em
o valor vai a zero de modo finito, logo a integral converge.
Passo 6
Calcular e investigar
Decompomos em frações parciais e vemos que há um pólo simples em
.
A primitiva contém um termo
, que diverge quando
. Portanto a integral imprópria diverge.
Resposta
(1)
(2)
(3)
(4) Converge e
(5) Diverge.
(2)
(3)
(4) Converge e
(5) Diverge.