( 2,0 pontos) Investigar a integral imprópria
\int 15 \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x
\int \sin \omega t \sin (\omega t+\theta) d t
\int \frac{t^{5}}{\sqrt{t^{2}+16}} d t
\int_{3}^{10} \frac{d x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-9}}
\int_{5}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}(x-5)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais indefinidas e investigar duas integrais impróprias próprias em valor numérico e convergência. Vamos usar substituições, identidades trigonométricas, frações parciais e mudança trigonométrica.

Passo 2

Calcular
\int 15\sin^2 x\cos^3 x\,dx.
Use a substituição u=\sin x\implies du=\cos x\,dx. Então
\sin^2 x\cos^3 x\,dx =\bigl(u^2\bigr)\bigl(1-u^2\bigr)du = \bigl(u^2 - u^4\bigr)du.
Logo
\int 15(u^2 - u^4)\,du =15\Bigl(\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\Bigr)+C =5u^3-3u^5+C
e voltando a x,
5\sin^3 x-3\sin^5 x + C.

Passo 3

Calcular
\int \sin(\omega t)\,\sin(\omega t+\theta)\,dt.
Use a identidade produto-para-soma
\sin A\sin B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr].
Aqui A=\omega t, B=\omega t+\theta, então
\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta) =\tfrac12\bigl[\cos(-\theta)-\cos(2\omega t+\theta)\bigr] =\tfrac12\bigl[\cos\theta-\cos(2\omega t+\theta)\bigr].
Integrando,
\int \tfrac12\cos\theta\,dt -\int \tfrac12\cos(2\omega t+\theta)\,dt =\frac12\cos\theta\,t -\frac1{2}\cdot\frac{\sin(2\omega t+\theta)}{2\omega} + C
=\frac12\cos\theta\,t -\frac1{4\omega}\sin(2\omega t+\theta) + C.

Passo 4

Calcular
\int \frac{t^5}{\sqrt{t^2+16}}\,dt.
Use u=t^2+16\implies du=2t\,dt, logo t^5\,dt = t^4\cdot t\,dt=(u-16)^2\frac{du}{2}.
\int \frac{t^5}{\sqrt{t^2+16}}\,dt =\frac12\int\frac{(u-16)^2}{u^{1/2}}\,du =\frac12\int\bigl(u^{3/2}-32u^{1/2}+256u^{-1/2}\bigr)\,du.
Integrando,
\frac12\Bigl(\frac{2}{5}u^{5/2}-32\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+256\cdot2u^{1/2}\Bigr)+C =\frac15u^{5/2}-\frac{32}{3}u^{3/2}+256u^{1/2}+C.
Voltando a t,
\frac15(t^2+16)^{5/2} -\frac{32}{3}(t^2+16)^{3/2} +256\sqrt{t^2+16} + C.

Passo 5

Calcular e investigar
\int_{3}^{10}\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}}.
Use x=3\operatorname{sec} u, dx=3\operatorname{sec} u\tan u\,du, \sqrt{x^2-9}=3\tan u.
O integrando vira \tfrac{3\operatorname{sec} u\tan u}{9\operatorname{sec}^2u\cdot3\tan u}\,du=\tfrac19\cos u\,du, cuja antiderivada é \tfrac19\sin u. Como \sin u=\tfrac{\sqrt{x^2-9}}x,
\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}} =\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}+C.
No limite impróprio em x\to3^+ o valor vai a zero de modo finito, logo a integral converge.
\int_{3}^{10}\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}} =\Bigl[\frac{\sqrt{x^2-9}}{9x}\Bigr]_{3}^{10} =\frac{\sqrt{10^2-9}}{9\cdot10}-0 =\frac{\sqrt{91}}{90}.

Passo 6

Calcular e investigar
\int_{5}^{+\infty}\frac{dx}{x^2(x-5)}.
Decompomos em frações parciais e vemos que há um pólo simples em x=5.
\frac1{x^2(x-5)} =-\frac1{25}\,\frac1x-\frac1{5}\,\frac1{x^2}+\frac1{25}\,\frac1{x-5}.
A primitiva contém um termo \tfrac1{25}\ln|x-5|, que diverge quando x\to5^+. Portanto a integral imprópria diverge.

Resposta

(1) \displaystyle \int15\sin^2x\cos^3x\,dx=5\sin^3x-3\sin^5x+C.
(2) \displaystyle \int\sin(\omega t)\sin(\omega t+\theta)\,dt =\frac12\cos\theta\,t-\frac1{4\omega}\sin(2\omega t+\theta)+C.
(3) \displaystyle \int\frac{t^5}{\sqrt{t^2+16}}\,dt =\frac15(t^2+16)^{5/2}-\frac{32}{3}(t^2+16)^{3/2}+256\sqrt{t^2+16}+C.
(4) Converge e \displaystyle \int_{3}^{10}\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-9}} =\frac{\sqrt{91}}{90}.
(5) Diverge.

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