Mostre que a série é divergente.
sumn=1^infty arctg(n)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty arctg(n)
é divergente. Vamos usar o critério do termo geral, que diz que se limntoinftyanneq 0, então a série sum an diverge.

Passo 2

Calcular o limite do termo geral:
limntoinftyarctg(n)
Sabemos que limxto+inftyarctg(x)=tfracpi2. Logo,
limntoinftyarctg(n)=pi2neq 0

Passo 3

Como o termo geral arctg(n) não tende a zero, pelo critério do termo geral concluímos que a série não pode convergir.

Resposta

A série sumn=1^inftyarctg(n) é divergente, pois o termo geral não tende a zero.

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