Resolva a inequação em x :
5 x+3x^2+1 >= 5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
5x+3x^2+1 >= 5
Aqui estamos lidando com inequações de funções racionais. Como x^2+1>0 para todo xinR, podemos juntar os termos num único quociente e estudar o sinal do numerador.

Passo 2

Subtraindo 5 de ambos os lados e colocando num único denominador, temos
5x+3x^2+1 - 5 >= 0 Longrightarrow 5x+3 - 5(x^2+1)x^2+1 >= 0
Calculando o numerador:
5x+3 - 5x^2 - 5 = -5x^2 +5x -2
Logo a inequação fica
-5x^2+5x-2x^2+1 >= 0

Passo 3

Como x^2+1>0 sempre, o sinal da fração é o mesmo do numerador -5x^2+5x-2. Analisamos
-5x^2+5x-2 >= 0
equivalente a
5x^2-5x+2 <= 0
(ao multiplicar por -1 invertemos o sinal da desigualdade).
O discriminante desta quadrática é
De<a = (-5)^2 - 4cdot5cdot2 = 25 - 40 = -15 < 0,
e o coeficiente de x^2 em 5x^2-5x+2 é positivo, logo 5x^2-5x+2>0 para todo x. Assim não existe x que torne 5x^2-5x+2<=0, ou seja, -5x^2+5x-2<0 para todo x.

Resposta

A inequação não admite solução real.
Em notação de conjuntos, o conjunto solução é varnothing.

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