Verifique se a série
converge absolutamente para
e para
.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para verificar se ela converge absolutamente nos pontos
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A sequência geral dos termos é
. - A verificação de convergência absoluta envolve a série formada pelos valores absolutos dos termos:
. - As duas situações a testar são
e .
Passo 2
Definição e transformação para cada caso.
Definição de convergência absoluta: uma série
converge absolutamente se a série
converge.
Aqui
, então
Para
temos
e a série absoluta é
Para
temos
também, porque
, e a série absoluta é novamente
Portanto, em ambos os pontos a verificação de convergência absoluta reduz-se a estudar a série
.
Passo 3
Teste de convergência para
: o teste da série p (ou teste integral).
Resultado conhecido (teste p): a série
converge se, e somente se,
. Aqui
, que satisfaz
, portanto a série converge.
Se quiser uma justificativa rápida pelo teste integral: considere a função
, que é positiva, contínua e decrescente para
. Então, comparando a soma com a integral imprópria,
Como a integral converge, por padrão do teste integral a série
também converge.
Passo 4
Conclusão sobre convergência absoluta nos pontos solicitados.
Já que para
a série absoluta é
e essa série converge (pelo teste
ou pelo teste integral), segue que a série original converge absolutamente em
.
Do mesmo modo, para
a série absoluta é a mesma
, então a série original também converge absolutamente em
.
Lembrete prático: convergência absoluta é mais forte que convergência simples — quando uma série converge absolutamente, ela converge (no sentido usual) também.