Verifique se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}
converge absolutamente para x=1 e para x=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}
e pede para verificar se ela converge absolutamente nos pontos x=1 e x=-1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência geral dos termos é a_n=\dfrac{x^{n}}{n^{2}}.
  • A verificação de convergência absoluta envolve a série formada pelos valores absolutos dos termos: |a_n|=\dfrac{|x|^{n}}{n^{2}}.
  • As duas situações a testar são x=1 e x=-1.

Passo 2

Definição e transformação para cada caso.
Definição de convergência absoluta: uma série \sum a_n converge absolutamente se a série \sum |a_n| converge.
Aqui a_n=\dfrac{x^{n}}{n^{2}}, então
|a_n|=\frac{|x|^{n}}{n^{2}}.
Para x=1 temos |x|=1 e a série absoluta é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Para x=-1 temos |x|=1 também, porque |-1|=1, e a série absoluta é novamente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Portanto, em ambos os pontos a verificação de convergência absoluta reduz-se a estudar a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Teste de convergência para \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}: o teste da série p (ou teste integral).
Resultado conhecido (teste p): a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p=2, que satisfaz p>1, portanto a série converge.
Se quiser uma justificativa rápida pelo teste integral: considere a função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, que é positiva, contínua e decrescente para x\ge1. Então, comparando a soma com a integral imprópria,
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty}=1<\infty.
Como a integral converge, por padrão do teste integral a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} também converge.

Passo 4

Conclusão sobre convergência absoluta nos pontos solicitados.
Já que para x=1 a série absoluta é \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}} e essa série converge (pelo teste p ou pelo teste integral), segue que a série original converge absolutamente em x=1.
Do mesmo modo, para x=-1 a série absoluta é a mesma \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, então a série original também converge absolutamente em x=-1.
Lembrete prático: convergência absoluta é mais forte que convergência simples — quando uma série converge absolutamente, ela converge (no sentido usual) também.

Resposta

x=1: converge absolutamente.
x=-1: converge absolutamente.

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