Obtenha a soma da série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}, \quad|x|<2 .

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}
e a condição de convergência |x|<2. A pergunta é: obter (isto é, encontrar uma expressão fechada para) a soma dessa série como função de x, válida quando |x|<2.

Passo 2

Começamos definindo a soma parcial da série, que é uma soma finita dependendo de um inteiro N:
S_N=\sum_{n=0}^{N}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}.
Explicar isso passo a passo: S_N é simplesmente a soma dos primeiros N+1 termos da série geométrica, ou seja, soma dos termos para n=0,1,\dots,N. O objetivo é obter uma fórmula fechada para S_N e depois passar ao limite N\to\infty.

Passo 3

Denotando a razão da progressão geométrica por
r=\frac{x}{2},
podemos escrever de forma compacta S_N=\sum_{n=0}^N r^n. Agora usamos a técnica padrão para somar uma geométrica finita: multiplicar S_N por r e subtrair.

Passo 4

Calcule rS_N e subtraia de S_N:
rS_N=\sum_{n=0}^N r^{n+1}=\sum_{n=1}^{N+1} r^{n}
Portanto,
S_N-rS_N = \left(\sum_{n=0}^N r^n\right)-\left(\sum_{n=1}^{N+1} r^n\right)=1-r^{N+1}.
No passo acima nota-se que ao subtrair as somas todos os termos r^1,\dots,r^{N} se cancelam, ficando apenas o termo r^0=1 e o termo negativo -r^{N+1}.

Passo 5

Isolando S_N obtemos a fórmula fechada para a soma parcial (válida quando r\neq1):
S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Aqui r=\dfrac{x}{2}. Observação importante: o caso r=1 corresponderia a x=2, mas esse valor está fora da região dada |x|<2, então podemos dividir por 1-r sem problema.

Passo 6

Agora passamos ao limite N\to\infty para obter a soma da série infinita. A condição de convergência |x|<2 é equivalente a |r|<1. Para qualquer r com |r|<1 vale
\lim_{N\to\infty} r^{N+1}=0,
pois potências de número com módulo menor que 1 tendem a zero. Assim, tomando limite em S_N:
\sum_{n=0}^{\infty} r^n=\lim_{N\to\infty} S_N=\lim_{N\to\infty}\frac{1-r^{N+1}}{1-r}=\frac{1}{1-r}.

Passo 7

Voltando para a variável x (lembre que r=\dfrac{x}{2}), a soma da série é
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=\frac{1}{1-\dfrac{x}{2}}.
Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por 2, obtendo uma forma mais usual:
\frac{1}{1-\dfrac{x}{2}}=\frac{2}{2-x}.

Passo 8

Checagem rápida e dica para prova: testar pontos fáceis para ver se a fórmula faz sentido. Por exemplo, para x=0 a soma deve ser 1; pela fórmula \dfrac{2}{2-0}=1, ok. Para x=1 a soma é a série geométrica \sum(1/2)^n que vale 2; pela fórmula \dfrac{2}{2-1}=2. Isso ajuda a ganhar confiança na resposta no dia da prova.

Resposta

\dfrac{2}{2-x}

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