Obtenha a soma da série geométrica
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
e a condição de convergência
. A pergunta é: obter (isto é, encontrar uma expressão fechada para) a soma dessa série como função de
, válida quando
.
Passo 2
Começamos definindo a soma parcial da série, que é uma soma finita dependendo de um inteiro
:
Explicar isso passo a passo:
é simplesmente a soma dos primeiros
termos da série geométrica, ou seja, soma dos termos para
. O objetivo é obter uma fórmula fechada para
e depois passar ao limite
.
Passo 3
Denotando a razão da progressão geométrica por
podemos escrever de forma compacta
. Agora usamos a técnica padrão para somar uma geométrica finita: multiplicar
por
e subtrair.
Passo 4
Calcule
e subtraia de
:
Portanto,
No passo acima nota-se que ao subtrair as somas todos os termos
se cancelam, ficando apenas o termo
e o termo negativo
.
Passo 5
Isolando
obtemos a fórmula fechada para a soma parcial (válida quando
):
Aqui
. Observação importante: o caso
corresponderia a
, mas esse valor está fora da região dada
, então podemos dividir por
sem problema.
Passo 6
Agora passamos ao limite
para obter a soma da série infinita. A condição de convergência
é equivalente a
. Para qualquer
com
vale
pois potências de número com módulo menor que
tendem a zero. Assim, tomando limite em
:
Passo 7
Voltando para a variável
(lembre que
), a soma da série é
Podemos simplificar essa expressão multiplicando numerador e denominador por
, obtendo uma forma mais usual:
Passo 8
Checagem rápida e dica para prova: testar pontos fáceis para ver se a fórmula faz sentido. Por exemplo, para
a soma deve ser
; pela fórmula
, ok. Para
a soma é a série geométrica
que vale
; pela fórmula
. Isso ajuda a ganhar confiança na resposta no dia da prova.