Mostre que a sequência 4 n+3 n i2 n+i converge a um número complexo L; para isso, calcule os limites lim n infty Re(zn) e lim n infty Im(zn).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a sequência de números complexos zn = 4n + 3ni2n + i converge a um número L. Precisamos calcular limntoinfty Re(zn) e limntoinfty Im(zn). Para isso, vamos isolar as partes real e imaginária usando racionalização do denominador.

Passo 2

Para separar partes real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador por 2n - i, que é o conjugado de 2n + i, obtendo:
zn = 4n + 3ni2n + i cdot 2n - i2n - i = (4n + 3ni)(2n - i)(2n + i)(2n - i)

Passo 3

Expandindo o numerador e calculando o denominador, temos:
(4n + 3ni)(2n - i) = 8n^2 - 4ni + 6n^2 i + 3n = (8n^2 + 3n) + i(6n^2 - 4n),
(2n + i)(2n - i) = 4n^2 + 1

Passo 4

Logo, extraindo as partes real e imaginária:
Re(zn) = 8n^2 + 3n4n^2 + 1, Im(zn) = 6n^2 - 4n4n^2 + 1

Passo 5

Agora, calculamos os limites:
limntoinfty Re(zn) = limntoinfty 8n^2 + 3n4n^2 + 1 = 2,
limntoinfty Im(zn) = limntoinfty 6n^2 - 4n4n^2 + 1 = 32

Resposta

L = 2 + tfrac32i

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