Mostre que a série
é convergente e calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente e para calcular sua soma. Como o termo para
não está definido
, entendemos que a soma começa em
. O conteúdo principal aqui é decompor o termo geral em frações parciais e usar a técnica de série telescópica para obter a soma.
Passo 2
Vamos escrever
como soma de frações parciais. Observamos que
logo procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Igualando coeficientes em
e termo constante, temos o sistema
cuja solução é
. Portanto
Passo 3
Definimos a soma parcial
Escrevendo alguns termos vemos o efeito telescópico:
Ao somar, quase tudo cancela, sobrando
Passo 4
Para
, temos
. Logo
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série é convergente e