Mostre que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\left(n^{2}-1\right)}
é convergente e calcule sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-1}
é convergente e para calcular sua soma. Como o termo para n=1 não está definido n^2-1=0, entendemos que a soma começa em n=2. O conteúdo principal aqui é decompor o termo geral em frações parciais e usar a técnica de série telescópica para obter a soma.

Passo 2

Vamos escrever
\frac{2}{n^{2}-1}
como soma de frações parciais. Observamos que
n^{2}-1=(n-1)(n+1),
logo procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{2}{(n-1)(n+1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (n-1)(n+1), obtemos
2 = A(n+1)+B(n-1) = (A+B)n + (A - B).
Igualando coeficientes em n e termo constante, temos o sistema
\begin{cases} A+B = 0,\\\ A - B = 2, \end{cases}
cuja solução é A=1\] e \(B=-1. Portanto
\frac{2}{n^{2}-1} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Definimos a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=2}^{N}\frac{2}{n^{2}-1} =\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\Bigr).
Escrevendo alguns termos vemos o efeito telescópico:
S_{N} =\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Bigr) +\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) +\cdots +\Bigl(\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N+1}\Bigr).
Ao somar, quase tudo cancela, sobrando
S_{N} =\Bigl(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{N}+\frac{1}{N+1}\Bigr).

Passo 4

Para N\to\infty, temos \tfrac{1}{N}+\tfrac{1}{N+1}\to0. Logo
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac{1}{1}+\frac{1}{2} =1+\tfrac12 =\tfrac32.
Como o limite da soma parcial existe e é finito, a série converge e sua soma é \tfrac32.

Resposta

A série é convergente e
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{n^{2}-1}=\frac{3}{2}.

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