Suponha que 0<x<1. Mostre que
\lim \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n}x^{n}-\frac{x}{1-x}

Passo 1

O enunciado quer que a gente analise o comportamento, quando N\to\infty, da diferença entre a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}2^{n}x^{n}
e o termo \frac{x}{1-x}, sob a hipótese 0<x<1. O conteúdo aqui é soma de progressão geométrica e estudo de limite de sequência de somas parciais.

Passo 2

Repare que
2^{n}x^{n}=(2x)^{n},
então
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}(2x)^{n}.
Como (2x)\neq1 (já que x<1), a soma de uma geométrica nos dá
S_{N} =\frac{2x\bigl(1-(2x)^{N}\bigr)}{1-2x}.

Passo 3

Suponha primeiro 0<x<\tfrac12. Então |2x|<1, logo
\lim_{N\to\infty}(2x)^{N}=0 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac{2x}{1-2x}.
Desse modo a diferença fica
\lim_{N\to\infty}\Bigl(S_{N}-\frac{x}{1-x}\Bigr) =\frac{2x}{1-2x}-\frac{x}{1-x} =\frac{x}{(1-2x)(1-x)}.

Passo 4

Agora suponha x=\tfrac12. Nesse caso 2x=1 e
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}1^{n}=N,
que diverge para +\infty. Logo
\lim_{N\to\infty}\Bigl(S_{N}-\frac{x}{1-x}\Bigr)=+\infty.

Passo 5

Por fim, se \tfrac12<x<1, então 2x>1 e
S_{N}=\frac{2x\bigl(1-(2x)^{N}\bigr)}{1-2x}
contém -(2x)^{N}/(1-2x) que cresce sem limite, isto é, S_{N}\to+\infty. Consequentemente
\lim_{N\to\infty}\Bigl(S_{N}-\frac{x}{1-x}\Bigr)=+\infty.

Resposta

Para 0<x<\tfrac12:
\lim_{N\to\infty}\Bigl(\sum_{n=1}^{N}2^{n}x^{n}-\frac{x}{1-x}\Bigr) =\frac{x}{(1-2x)(1-x)}.
Para x\ge\tfrac12:
\lim_{N\to\infty}\Bigl(\sum_{n=1}^{N}2^{n}x^{n}-\frac{x}{1-x}\Bigr)=+\infty.

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