Suponha que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado quer que a gente analise o comportamento, quando
, da diferença entre a soma parcial
e o termo
, sob a hipótese
. O conteúdo aqui é soma de progressão geométrica e estudo de limite de sequência de somas parciais.
Passo 2
Repare que
então
Como
(já que
), a soma de uma geométrica nos dá
Passo 3
Suponha primeiro
. Então
, logo
Desse modo a diferença fica
Passo 4
Agora suponha
. Nesse caso
e
que diverge para
. Logo
Passo 5
Por fim, se
, então
e
contém
que cresce sem limite, isto é,
. Consequentemente
Resposta
Para
:
Para
: