Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Este é um problema de testes de convergência de séries infinitas, em particular vamos usar o Critério de Leibniz (séries alternadas) e depois verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Definimos o termo geral da série como
De fato, para
obtemos
, para
dá
e assim por diante. Seja
Verificamos duas condições do Critério de Leibniz:
-
, logo é decrescente; -
.
Pelas duas condições, a série alternadaconverge.
Passo 3
Para a convergência absoluta, consideramos
Comparando com a série harmônica, note que para todo
vale
e sabemos que
diverge (é equivalente à soma de
). Logo
diverge, isto é, a série não converge absolutamente.
Passo 4
Concluímos que a série converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto, trata-se de convergência condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.