Teste a série quanto a convergência ou divergência.
-\frac{2}{5}+\frac{2}{7}-\frac{2}{9}+\frac{2}{11}-\cdots

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
-\frac{2}{5} + \frac{2}{7} - \frac{2}{9} + \frac{2}{11} - \cdots
Este é um problema de testes de convergência de séries infinitas, em particular vamos usar o Critério de Leibniz (séries alternadas) e depois verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
a_k = (-1)^k \,\frac{2}{2k+3},\quad k=1,2,3,\dots
De fato, para k=1 obtemos (-1)^1\,2/(2+3)=-2/5, para k=2 +2/7 e assim por diante. Seja
b_k = \frac{2}{2k+3}\ge0.
Verificamos duas condições do Critério de Leibniz:
  1. \displaystyle b_{k+1} = \frac{2}{2k+5} < \frac{2}{2k+3} = b_k, logo (b_k) é decrescente;
  2. \displaystyle \lim_{k\to\infty} b_k = \lim_{k\to\infty} \frac{2}{2k+3} = 0.
    Pelas duas condições, a série alternada \sum a_k converge.

Passo 3

Para a convergência absoluta, consideramos
\sum_{k=1}^\infty |a_k| = \sum_{k=1}^\infty b_k = \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{2k+3}.
Comparando com a série harmônica, note que para todo k\ge1 vale
\frac{2}{2k+3} > \frac{2}{2k+4} = \frac{1}{k+2},
e sabemos que \sum_{k=1}^\infty 1/(k+2) diverge (é equivalente à soma de 1/k). Logo \sum b_k diverge, isto é, a série não converge absolutamente.

Passo 4

Concluímos que a série converge pelo Critério de Leibniz, mas não converge absolutamente. Portanto, trata-se de convergência condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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