Determine se a série converge ou diverge.
\begin{aligned} & \text { a) } \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}} \\\ & \text { b) } \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência das seguintes séries infinitas:
\text{(a)}\;\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{2}}, \qquad \text{(b)}\;\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}.
O conteúdo principal é teste de integral para séries de termo positivo e teste comparativo (ou de limite) para séries cujos termos têm comportamento assintótico conhecido.

Passo 2

Analisando a série (a), note que podemos aplicar o teste da integral: considere a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},
que é positiva e estritamente decrescente para x\ge2. Avaliamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}.
Fazendo a substituição u=\ln x, du=dx/x, os limites vão de u=\ln2 até u\to\infty, de modo que
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}} =\left[-\frac{1}{u}\right]_{\ln2}^{\infty} =\frac{1}{\ln2}<\infty.

Passo 3

Como a integral convergiu, pelo teste da integral a série \sum_{n=2}^{\infty}1/\bigl(n(\ln n)^{2}\bigr) também converge.

Passo 4

Agora para a série (b), observe que
\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} \sim\frac{1}{n} \quad\text{quando }n\to\infty.
Podemos usar o teste comparativo limite com a série harmônica \sum1/n, que diverge. Calcule
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}}{\frac{1}{n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+1/n^{2}}} =1\quad(>0).
Como esse limite é finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento: a harmônica diverge, logo a dada também diverge.

Resposta

(a) A série converge.
(b) A série diverge.

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