Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência das seguintes séries infinitas:
O conteúdo principal é teste de integral para séries de termo positivo e teste comparativo (ou de limite) para séries cujos termos têm comportamento assintótico conhecido.
Passo 2
Analisando a série (a), note que podemos aplicar o teste da integral: considere a função
que é positiva e estritamente decrescente para
. Avaliamos a integral imprópria
Fazendo a substituição
,
, os limites vão de
até
, de modo que
Passo 3
Como a integral convergiu, pelo teste da integral a série
também converge.
Passo 4
Agora para a série (b), observe que
Podemos usar o teste comparativo limite com a série harmônica
, que diverge. Calcule
Como esse limite é finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento: a harmônica diverge, logo a dada também diverge.
Resposta
(a) A série converge.
(b) A série diverge.
(b) A série diverge.