Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio de definição da função . Isso significa descobrir para quais valores de essa série infinita converge. Para resolver isso, vamos usar o teste da raiz, que é uma ferramenta da análise de séries de potências para determinar o intervalo de convergência.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da raiz enésima do termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é . O teste da raiz diz que a série converge se:
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Agora, precisamos simplificar .
Passo 4
Para simplificar, usamos a aproximação de Stirling para o fatorial, que é uma fórmula que aproxima n! approx n^n e^-n raiz2pi n para valores grandes de raiz[n]n^nn! approx raiz[n]n^nn^n e^-n raiz2pi n = raiz[n]e^n = e :
Substituindo isso na nossa expressão:
Passo 5
Agora, voltando ao limite:
limn to infty e cdot |x| = e |x|
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1: