Encontre o domínio de definição da função f(x)=sumn=0^+infty n^nn! x^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o domínio de definição da função . Isso significa descobrir para quais valores de essa série infinita converge. Para resolver isso, vamos usar o teste da raiz, que é uma ferramenta da análise de séries de potências para determinar o intervalo de convergência.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a encontrar o limite da raiz enésima do termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é limn to infty raiz[n]|an| < 1 . O teste da raiz diz que a série converge se:

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
limn to infty raiz[n]| n^nn! x^n | = limn to infty raiz[n]n^nn! cdot |x|
Agora, precisamos simplificar .

Passo 4

Para simplificar, usamos a aproximação de Stirling para o fatorial, que é uma fórmula que aproxima n! approx n^n e^-n raiz2pi n para valores grandes de raiz[n]n^nn! approx raiz[n]n^nn^n e^-n raiz2pi n = raiz[n]e^n = e :
Substituindo isso na nossa expressão:

Passo 5

Agora, voltando ao limite:
limn to infty e cdot |x| = e |x|
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
e |x| < 1

Resposta

O domínio de definição da função é .

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