Mostre que as séries abaixo são convergentes: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}
é convergente. As informações dadas são exatamente a expressão dos termos gerais \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}} para k=1,2,3,\dots. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos estudar o numerador 1-e^{\sin k}. Note que, para qualquer número real x, temos \sin x\in[-1,1]. Em particular, para cada inteiro k vale
\sin k\in[-1,1].
Isto é um fato básico da função seno: a imagem do seno está entre -1 e 1. (Se quiser: pense no círculo unitário — a coordenada y nunca ultrapassa \pm1.)
Passo 3
A função exponencial x\mapsto e^{x} é crescente. Assim, aplicando e^{(\cdot)} à desigualdade anterior obtemos, para todo k,
e^{-1}\le e^{\sin k}\le e^{1}.
Agora vamos transformar isso numa estimativa para o valor absoluto do numerador. Temos duas possibilidades de distância de e^{\sin k} até 1: ou |1-e^{\sin k}|=e^{\sin k}-1 (quando e^{\sin k}\ge1) ou |1-e^{\sin k}|=1-e^{\sin k} (quando e^{\sin k}\le1). Em qualquer caso,
Pelo teste da comparação (para séries de termos não-negativos), como \left|\frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}\right|\le \frac{e-1}{3^{k}} e a série da direita converge, concluímos que
Quando a série dos valores absolutos converge dizemos que a série original converge absolutamente. A convergência absoluta implica convergência (no sentido usual). Portanto a série dada converge.
Resposta
A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}} converge; de fato, converge absolutamente.