Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}
é convergente. As informações dadas são exatamente a expressão dos termos gerais \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}} para k=1,2,3,\dots. Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos estudar o numerador 1-e^{\sin k}. Note que, para qualquer número real x, temos \sin x\in[-1,1]. Em particular, para cada inteiro k vale
\sin k\in[-1,1].
Isto é um fato básico da função seno: a imagem do seno está entre -1 e 1. (Se quiser: pense no círculo unitário — a coordenada y nunca ultrapassa \pm1.)

Passo 3

A função exponencial x\mapsto e^{x} é crescente. Assim, aplicando e^{(\cdot)} à desigualdade anterior obtemos, para todo k,
e^{-1}\le e^{\sin k}\le e^{1}.
Agora vamos transformar isso numa estimativa para o valor absoluto do numerador. Temos duas possibilidades de distância de e^{\sin k} até 1: ou |1-e^{\sin k}|=e^{\sin k}-1 (quando e^{\sin k}\ge1) ou |1-e^{\sin k}|=1-e^{\sin k} (quando e^{\sin k}\le1). Em qualquer caso,
|1-e^{\sin k}|\le \max\bigl\{\,|1-e^{-1}|,\;|1-e^{1}|\,\bigr\}.
Como |1-e^{-1}|=1-e^{-1} e |1-e^{1}|=e-1, o máximo é e-1. Portanto, para todo k,
|1-e^{\sin k}|\le e-1.

Passo 4

Agora olhamos o termo geral da série e estimamos seu valor absoluto:
\left|\frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}\right|=\frac{|1-e^{\sin k}|}{3^{k}}\le \frac{e-1}{3^{k}}.
A sequência à direita define uma série geométrica convergente, pois
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{e-1}{3^{k}}=(e-1)\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}=(e-1)\cdot\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=(e-1)\cdot\frac{1}{2}=\frac{e-1}{2}.
Pelo teste da comparação (para séries de termos não-negativos), como \left|\frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}\right|\le \frac{e-1}{3^{k}} e a série da direita converge, concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}}\right|
converge.

Passo 5

Quando a série dos valores absolutos converge dizemos que a série original converge absolutamente. A convergência absoluta implica convergência (no sentido usual). Portanto a série dada converge.

Resposta

A série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1-e^{\sin k}}{3^{k}} converge; de fato, converge absolutamente.

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