Mostre que as séries abaixo são convergentes: \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k}{3^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k}{3^{k}}
é convergente. As informações relevantes que temos são:
o termo geral é a_k=\dfrac{\cos k}{3^{k}};
para todo k vale |\cos k|\le 1 (essa é uma propriedade básica do cosseno).
Passo 2
Vou usar a ideia de convergência absoluta e o teste da comparação. Primeiro vou te explicar o que é convergência absoluta e por que isso é útil: uma série \sum a_k converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_k| converge. Um teorema simples diz que se \sum |a_k| converge então \sum a_k também converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Intuição curta: se os módulos somam um valor finito, as oscilações do sinal não podem impedir a soma de se estabilizar — formalmente usa-se desigualdade triangular e propriedade de séries de Cauchy.
Passo 3
Aplicamos isso ao nosso caso. Consideramos a série dos módulos:
Pelo item do Passo 1 temos 0\le |\cos k|\le 1. Portanto, para todo k,
0\le \frac{|\cos k|}{3^{k}} \le \frac{1}{3^{k}}.
Passo 4
Aqui usamos o teste da comparação: se 0\le b_k\le c_k para todo k e \sum c_k converge, então \sum b_k converge. No nosso caso tomamos b_k=\dfrac{|\cos k|}{3^{k}} e c_k=\dfrac{1}{3^{k}}. Então basta verificar que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{k}} converge.
Passo 5
A série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{k}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}. A fórmula padrão para a soma da série geométrica infinita é