Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos k}{3^{k}}
é convergente. As informações relevantes que temos são:
  • o termo geral é a_k=\dfrac{\cos k}{3^{k}};
  • para todo k vale |\cos k|\le 1 (essa é uma propriedade básica do cosseno).

Passo 2

Vou usar a ideia de convergência absoluta e o teste da comparação. Primeiro vou te explicar o que é convergência absoluta e por que isso é útil: uma série \sum a_k converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_k| converge. Um teorema simples diz que se \sum |a_k| converge então \sum a_k também converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Intuição curta: se os módulos somam um valor finito, as oscilações do sinal não podem impedir a soma de se estabilizar — formalmente usa-se desigualdade triangular e propriedade de séries de Cauchy.

Passo 3

Aplicamos isso ao nosso caso. Consideramos a série dos módulos:
\sum_{k=1}^{\infty} \left|\frac{\cos k}{3^{k}}\right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{|\cos k|}{3^{k}}.
Pelo item do Passo 1 temos 0\le |\cos k|\le 1. Portanto, para todo k,
0\le \frac{|\cos k|}{3^{k}} \le \frac{1}{3^{k}}.

Passo 4

Aqui usamos o teste da comparação: se 0\le b_k\le c_k para todo k e \sum c_k converge, então \sum b_k converge. No nosso caso tomamos b_k=\dfrac{|\cos k|}{3^{k}} e c_k=\dfrac{1}{3^{k}}. Então basta verificar que \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{k}} converge.

Passo 5

A série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{k}} é uma série geométrica com razão r=\dfrac{1}{3}. A fórmula padrão para a soma da série geométrica infinita é
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}\quad\text{quando }|r|<1.
Como nossa soma começa em k=1, temos
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^{k}} - 1 = \frac{1}{1-\tfrac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\tfrac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2},
logo a série geométrica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{k}} converge (e soma 1/2).

Passo 6

Pelo teste da comparação do Passo 4, como \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{3^{k}} converge e \dfrac{|\cos k|}{3^{k}}\le \dfrac{1}{3^{k}}, concluímos que
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{|\cos k|}{3^{k}}
converge. Assim a série original converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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