Mostre que as séries abaixo são convergentes:
Passo 1
Enunciado e dados que temos: a série dada é
. Note que
, então o termo para
é indefinido. Vou assumir que a intenção é a série começando em
:
O que o enunciado pede: mostrar que essa série é convergente. Informação relevante extraída do enunciado: os termos têm sinal alternado por causa de
e o módulo dos termos é
que é positivo para
. A tarefa será verificar condições de um critério de convergência adequado e concluir se a série converge (e depois, opcionalmente, verificar convergência absoluta).
Passo 2
Ferramenta que vou usar primeiro: o Critério de Leibniz (critério da série alternada). Vou explicar o critério de forma simples e didática.
Critério de Leibniz (enunciado e ideia): Se
é uma sequência de números positivos tal que
-
para todo suficientemente grande (ou seja, é monotona não crescente a partir de algum índice), e -
,
então a série alternadaconverge.
Intuição curta: em séries alternadas com termos que decrescem em módulo até 0, as somas parciais ficam “oscillando” em torno de um limite e a amplitude dessa oscilação vai diminuindo — por isso há convergência. No exame, basta checar as duas condições acima.
Passo 3
Verificar a condição
para
.
Explicação do porquê
: à medida que
, temos
e
, então o produto
. Portanto
Uma forma elementar de ver isso sem muito formalismo: para
vale
, então
e assim
. Como
, pelo confronto
. (Essa observação também mostra rapidamente que o limite é zero.)
Passo 4
Verificar a monotonicidade de
: preciso mostrar que
a partir de algum índice (na prática, para todo
).
Método prático: estude a função contínua que estende
:
Se
for decrescente em
, então
será decrescente em
.
Calcule a derivada de
. Usando derivação:
Agora
. Então
Para
temos
, logo
. Assim
para todo
. Conclusão:
é estritamente decrescente em
. Portanto a sequência
é estritamente decrescente para
. Isso verifica a primeira condição do Critério de Leibniz.
Passo 5
Aplicando o Critério de Leibniz: já mostramos que
para
, que
é decrescente e que
. Logo, pela condição de Leibniz, a série alternada
converge. Portanto a série original (com início ajustado para
) é convergente.
Passo 6
Importante distinguir convergência condicional e absoluta. Vou verificar se a série converge absolutamente, ou seja, se
converge.
Usarei o teste da integral (ou a substituição direta conhecida): considere a integral
Fazendo a substituição
(então
), obtemos
Como a integral diverge e a função
é positiva e decrescente para
, o teste da integral implica que a série de termos positivos
diverge. Assim a série original não converge absolutamente; ela converge apenas condicionalmente.
Resposta
A série
converge pelo Critério de Leibniz, mas
diverge (teste da integral); portanto a convergência é condicional.