Mostre que as séries são absolutamente convergentes:
sumn=1^infty 1-2 sin nn^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty1-2sin nn^3
é absolutamente convergente.
Conteúdo: teste da convergência absoluta e comparação com séries-p.
Vamos analisar a soma dos módulos dos termos e compará-la a uma série conhecida.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, definimos
an = 1-2sin nn^3
e estudamos
sumn=1^inftyl|anr| = sumn=1^inftyl|,1-2sin n,r|n^3

Passo 3

Observamos que, para todo n, vale a desigualdade triangular
l|,1-2sin n,r| <= |1| + |2sin n| = 1 + 2,|sin n| <= 1 + 2 = 3
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l|anr| = l|,1-2sin n,r|n^3 <= 3n^3

Passo 4

Sabemos que a série-p
sumn=1^infty1n^3
converge, pois 3>1. Multiplicando por 3 continua convergente:
sumn=1^infty3n^3 = 3sumn=1^infty1n^3 < infty

Passo 5

Pelo critério da comparação, como
0 <= l|anr| <= 3n^3
e sum 3/n^3 converge, concluímos que
sumn=1^inftyl|anr|
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1-2sin nn^3 é absolutamente convergente.

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