Mostre que as séries
i. sumn=1^infty 1n^3+n;
ii. sumn=2^infty 1n ln n;
v. sumn=1^infty raizn^2+1n^3+2 n^2+5;
vi. sumn=1^infty e^n3^n-1.
iv. sumn=1^infty 1n^2+n;
são convergentes, usando o teste da integral. Para isso, mostre que (a) integral1^infty d xx^3+x e
(b) integral2^infty d xx ln x são convergentes. Para primeira integral, use integração por partes e, para a segunda, observe que a função f(x)=ln (ln x) é uma primitiva para o integrando de (b)

Passo 1

Vamos usar o teste da integral: se f(x) é positiva, contínua e decrescente em [N,infty) e an=f(n), então
sumn=N^inftyanconver>= Long<=ftrightarrow integralN^inftyf(x),dx<infty
Aplicaremos esse critério a cada série, avaliando as integrais
integral1^inftydxx^3+x e integral2^inftydxxln x,
além de casos auxiliares por comparação ou frações parciais.

Passo 2

Calcular
integral1^Rdxx^3+x = integral1^Rdxx(x^2+1)
Usamos frações parciais:
1x(x^2+1) =1x-xx^2+1
Logo
integral1^Rdxx^3+x =integral1^Rl(1x-xx^2+1r)dx =l[ln x-tfrac12ln(x^2+1)r]1^R =lnRraizR^2+1-ln1raiz2
Quando Rtoinfty, lnRraizR^2+1to0, fica finito tfrac12ln2.
Portanto
integral1^inftydxx^3+x<infty,
e como f(x)=1/(x^3+x) é positiva e decrescente em [1,infty), a série
sumn=1^infty1n^3+n
converge.

Passo 3

Calcular
integral2^Rdxxln x
Observamos que
ddxl[ln(ln x)r] =1xln x,
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integral2^Rdxxln x =l[ln(ln x)r]2^R =ln(ln R)-ln(ln 2)
Como ln(ln R)toinfty quando Rtoinfty, essa integral diverge.
Pelo teste da integral, a série
sumn=2^infty1nln n
diverge.

Passo 4

Para
sumn=1^infty1n^2+n,
tomamos f(x)=1/(x^2+x). Usando frações parciais:
1x^2+x =1x-1x+1,
integral1^inftydxx^2+x =integral1^inftyl(1x-1x+1r)dx =limRtoinfty[ln x-ln(x+1)]1^R =ln2<infty
Como f(x) é positiva e decrescente, a série converge.

Passo 5

Para
sumn=1^inftyraizn^2+1n^3+2n^2+5,
note que para x>=1:
raizx^2+1<= x+1<=2x, x^3+2x^2+5>= x^3,
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raizx^2+1x^3+2x^2+5<=2xx^3=2x^2
Já que integral1^infty2/x^2,dx<infty, por comparação
integral1^inftyraizx^2+1/(x^3+2x^2+5),dx converge, e assim
a série converge.

Passo 6

Para
sumn=1^inftye^n3^,n-1 =3sumn=1^inftyl(e3r)^n,
vemos que é uma série geométrica de razão e/3<1. Logo ela converge.

Resposta


(a) sumn=1^inftydfrac1n^3+n converge.
(b) sumn=2^inftydfrac1nln n diverge.
(c) sumn=1^inftydfrac1n^2+n converge.
(d) sumn=1^inftydfracraizn^2+1n^3+2n^2+5 converge.
(e) sumn=1^inftydfrace^n3^,n-1 converge.

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