Mostre que as séries
i.
;
ii.
;
v.
;
vi.
.
iv.
;
são convergentes, usando o teste da integral. Para isso, mostre que (a)
e
(b)
são convergentes. Para primeira integral, use integração por partes e, para a segunda, observe que a função
é uma primitiva para o integrando de
i.
ii.
v.
vi.
iv.
são convergentes, usando o teste da integral. Para isso, mostre que (a)
(b)
Passo 1
Vamos usar o teste da integral: se
é positiva, contínua e decrescente em
e
, então
Aplicaremos esse critério a cada série, avaliando as integrais
além de casos auxiliares por comparação ou frações parciais.
Passo 2
Calcular
Usamos frações parciais:
Logo
Quando
,
, fica finito
.
Portanto
Portanto
e como
é positiva e decrescente em
, a série
converge.
Passo 3
Calcular
Observamos que
logo
Como
quando
, essa integral diverge.
Pelo teste da integral, a série
Pelo teste da integral, a série
diverge.
Passo 4
Para
tomamos
. Usando frações parciais:
Como
é positiva e decrescente, a série converge.
Passo 5
Para
note que para
:
logo
Já que
, por comparação
converge, e assim
a série converge.
a série converge.
Passo 6
Para
vemos que é uma série geométrica de razão
. Logo ela converge.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)