Em uma reação quimica elementar, as moléculas únicas de dois reagentes A e B interagem para produzir uma molécula do produto X. A lei de ação das massas afirma que a velocidade com que aumenta a concentração do produto X é proporcional ao produto das concentrações dos reagentes A e B. Suponha que as concentrações iniciais dos reagentes A e B eram iguais a a mols / L e b mols / L respetivamente.
(a) Considere x(t) a concentração do produto X no instante t e determine uma equação diferencial, em termos de x, que corresponda ao fenómeno descrito.
(b) Se x(0)=0 e x(20)=a2, é possível determinar uma expressão geral para a concentração x(t) ? Explique

Passo 1

O enunciado descreve a reação elementar A + B → X em que cada molécula de X formada consome uma de A e uma de B. A lei de ação das massas afirma que a taxa de formação de X satisfaz uma equação diferencial do tipo de separação de variáveis. Vamos usar que as concentrações de A e B no tempo t são A(t)=a - x(t) e B(t)=b - x(t).

Passo 2

Pela lei de ação das massas, existe constante k>0 tal que
dxdt = k,[A(t)],[B(t)] = k,(a - x),(b - x)

Passo 3

Aplicamos separação de variáveis:
dx(a - x)(b - x) = k,dt

Passo 4

Integramos de 0 a x e de 0 a t:
integral0^xdu(a - u)(b - u) =integral0^tk,ds ;Longrightarrow; 1b - aln!l(a - xb - xcdotbar)=k,t
Usando x(0)=0 fixamos a constante de integração.

Passo 5

Resolvendo para x, temos dois casos:
Caso aneq b:
x(t) =a,bl(e^(b - a)k t-1r) a,e^(b - a)k t-b
Caso a=b:
x(t)=al(1-11+a,k,tr)

Passo 6

Para determinar k usamos x(20)=tfraca2. No caso aneq b,
a2 =a,bl(e^(b - a)kcdot20-1r) a,e^(b - a)kcdot20-b,
o que permite resolver k em função de a,b. Assim obtemos a expressão completa de x(t).

Resposta

(a) dxdt=k,(a - x),(b - x)
(b) Supondo aneq b,
x(t)=a,bl(e^(b - a)k t-1r)a,e^(b - a)k t-b,
e no caso a=b,
x(t)=al(1-11+a,k,tr)
A constante k é fixada impondo x(20)=a/2.

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