Se a sala contém somente dois bebês, com idades de 1 e 3 anos, calcule \left\langle\mathrm{j}^{2}\right\rangle e \langle\mathrm{j}\rangle^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que a sala contém somente dois bebês, com idades 1 e 3 anos, e pede para calcular \langle j^{2}\rangle e \langle j\rangle^{2}. Dados relevantes extraídos do enunciado:
\;j_{1}=1, \;j_{2}=3, \;N=2 (número de bebês).
As perguntas são: calcular \langle j^{2}\rangle e calcular \langle j\rangle^{2}.

Passo 2

Explicando a ideia de média (expectation) de forma bem direta: para um conjunto de N valores \{j_{i}\}, a média aritmética é
\langle j\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} j_{i}.
Aqui \langle j\rangle significa “a média das idades”; N é o número de elementos (aqui 2); e j_{i} são as idades individuais. Vamos calcular passo a passo:
Somamos as idades: 1+3=4.
Dividimos pelo número de bebês: \dfrac{4}{2}=2.
Portanto \langle j\rangle = 2.

Passo 3

Agora calculamos \langle j\rangle^{2}, que é simplesmente o quadrado da média que já encontramos. Ou seja:
\langle j\rangle^{2} = (2)^{2} = 4.
Interpretação rápida: isso é diferente de tirar a média dos quadrados (atenção para não confundir!).

Passo 4

Para \langle j^{2}\rangle usamos a definição de média dos quadrados:
\langle j^{2}\rangle = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} j_{i}^{2}.
Aqui cada idade é elevada ao quadrado antes de somar. Calculamos os quadrados das idades: 1^{2}=1 e 3^{2}=9.
Somando: 1+9=10.
Dividindo por N=2: \dfrac{10}{2}=5.
Portanto \langle j^{2}\rangle = 5.

Passo 5

Pequeno comentário final para fixar (útil na prova): \langle j^{2}\rangle e \langle j\rangle^{2} não são iguais em geral. A diferença \langle j^{2}\rangle - \langle j\rangle^{2} é a variância da amostra (no caso desta população pequena, dá 5-4=1), que mede a dispersão das idades.

Resposta

\langle j^{2}\rangle = 5
\langle j\rangle^{2} = 4

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