© Use o item (b) para achar uma série de potências para h(x)=x^3(1+x)^3.

Passo 1

O enunciado pede a série de potências de h(x)=x^3(1+x)^3. O assunto principal é expansão em série de potências usando o binômio de Newton para expoentes negativos.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral da série binomial para alpha real:
(1+x)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanx^n
No caso alpha=-3 vale
binom-3n=(-1)^nbinomn+22
Portanto
(1+x)^-3=sumn=0^infty(-1)^n(n+2)(n+1)2,x^n .

Passo 3

Multiplicamos essa série por x^3 para obter h(x):
h(x)=x^3,(1+x)^-3 =sumn=0^infty(-1)^n(n+2)(n+1)2,x^n+3

Passo 4

Para escrever como série em potências de x^m começando em m=3, definimos m=n+3. Com isso:
h(x)=summ=3^infty(-1)^m-3(m-1)(m-2)2,x^m .

Resposta

h(x)=summ=3^infty(-1)^m-3(m-1)(m-2)2,x^m.

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