Mostre que se A é simétrica, então B^{T} A B é simétrica ( B quadrada de mesma ordem que A ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma afirmação clara:
  • Dado: A é simétrica. Isto significa que A^T = A.
  • Dado: B é uma matriz quadrada da mesma ordem que A.
  • Pedido: Mostrar que a matriz B^{T} A B é simétrica, ou seja, provar que
\bigl(B^{T} A B\bigr)^T = B^{T} A B.

Passo 2

O que significa uma matriz ser simétrica e o que é a transposição:
  • Definição: Uma matriz M é simétrica quando M^T = M.
  • Transposta: Se M=(m_{ij}), então a transposta M^T tem entradas (M^T)_{ij}=m_{ji}. Em palavras: a transposta troca linhas por colunas.
Explicando de forma bem concreta: para conferir que uma matriz é simétrica basta comparar cada entrada (i,j) com a entrada (j,i).

Passo 3

Propriedades da transposição que vamos usar (e que é bom entender bem):
  1. Regra do produto: para duas matrizes compatíveis X e Y vale
(XY)^T = Y^T X^T.
Vamos mostrar rapidamente por componentes: (XY)_{ij}=\sum_{k} X_{ik}Y_{kj}. Portanto
\bigl((XY)^T\bigr)_{ij}=(XY)_{ji}=\sum_{k} X_{jk}Y_{ki}=\sum_{k} Y_{ki}X_{jk}=(Y^T X^T)_{ij},
o que prova a propriedade componente a componente.
  1. Transposta da transposta: para qualquer matriz X
\bigl(X^T\bigr)^T = X.
Prova curta por componentes: \bigl(X^T\bigr)_{ij}=X_{ji}, então \bigl((X^T)^T\bigr)_{ij}=(X^T)_{ji}=X_{ij}.
Também, para três fatores X,Y,Z aplicando a regra do produto duas vezes obtemos
(XYZ)^T = Z^T Y^T X^T.

Passo 4

Aplicando as propriedades ao caso concreto. Considere a matriz M = B^T A B. Vamos calcular M^T usando a regra para três fatores:
\bigl(B^T A B\bigr)^T = B^T A^T B.
Explicando o passo: tomar a transposta de B^T A B com os três fatores é usar (XYZ)^T = Z^T Y^T X^T com X=B^T, Y=A, Z=B. Então
\bigl(B^T A B\bigr)^T = B^T A^T (B^T)^T = B^T A^T B,
pois (B^T)^T = B.

Passo 5

Agora usamos que A é simétrica, isto é A^T = A. Substituindo em cima:
\bigl(B^T A B\bigr)^T = B^T A^T B = B^T A B.
Portanto a transposta de B^T A B é ela mesma, que é exatamente a definição de simetria.

Passo 6

Conclusão final e uma palavra de ânimo: mostramos de forma direta e elementar, usando apenas propriedades da transposta e a hipótese A^T=A, que B^T A B é simétrica. Essa técnica — calcular a transposta e usar (XY)^T=Y^T X^T — é padrão e muito útil para provas rápidas em provas: sempre tente transformar a expressão transposta de um produto em produtos de transpostas na ordem inversa e então aplicar hipóteses de simetria.

Resposta

B^{T} A B é simétrica.

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