Mostre que se
é simétrica, então
é simétrica (
quadrada de mesma ordem que
).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma afirmação clara:
- Dado:
é simétrica. Isto significa que . - Dado:
é uma matriz quadrada da mesma ordem que . - Pedido: Mostrar que a matriz
é simétrica, ou seja, provar que
Passo 2
O que significa uma matriz ser simétrica e o que é a transposição:
- Definição: Uma matriz
é simétrica quando . - Transposta: Se
, então a transposta tem entradas . Em palavras: a transposta troca linhas por colunas.
Explicando de forma bem concreta: para conferir que uma matriz é simétrica basta comparar cada entrada
com a entrada
.
Passo 3
Propriedades da transposição que vamos usar (e que é bom entender bem):
- Regra do produto: para duas matrizes compatíveis
e vale
Vamos mostrar rapidamente por componentes:
. Portanto
o que prova a propriedade componente a componente.
- Transposta da transposta: para qualquer matriz
Prova curta por componentes:
, então
.
Também, para três fatores
aplicando a regra do produto duas vezes obtemos
Passo 4
Aplicando as propriedades ao caso concreto. Considere a matriz
. Vamos calcular
usando a regra para três fatores:
Explicando o passo: tomar a transposta de
com os três fatores é usar
com
,
,
. Então
pois
.
Passo 5
Agora usamos que
é simétrica, isto é
. Substituindo em cima:
Portanto a transposta de
é ela mesma, que é exatamente a definição de simetria.
Passo 6
Conclusão final e uma palavra de ânimo: mostramos de forma direta e elementar, usando apenas propriedades da transposta e a hipótese
, que
é simétrica. Essa técnica — calcular a transposta e usar
— é padrão e muito útil para provas rápidas em provas: sempre tente transformar a expressão transposta de um produto em produtos de transpostas na ordem inversa e então aplicar hipóteses de simetria.