Seja A=\left[\begin{array}{cc}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right].Determine o valor de x para que A seja uma matriz simétrica.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & x^{2} \\[4pt] 2x-1 & 0\end{pmatrix}
e pede: determinar o(s) valor(es) de x para que A seja uma matriz simétrica.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Entrada (1,1): 2.
  • Entrada (1,2): x^{2}.
  • Entrada (2,1): 2x-1.
  • Entrada (2,2): 0.
O objetivo claro: encontrar x tal que a matriz seja simétrica.]

Passo 2

Lembrete conceitual (rápido e direto): uma matriz A é simétrica quando vale
A = A^{T},
onde A^{T} é a transposta de A. A transposta troca linhas por colunas; para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{T}=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{21} \\[4pt] a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}.
Portanto, a condição prática para simetria é que os elementos fora da diagonal satisfaçam a_{12}=a_{21} (as diagonais já coincidem consigo mesmas).]

Passo 3

Calculo a transposta de A:
A^{T}=\begin{pmatrix}2 & 2x-1 \\[4pt] x^{2} & 0\end{pmatrix}.
Para A ser simétrica precisamos que os elementos correspondentes sejam iguais. As diagonais já satisfazem 2=2 e 0=0. Resta exigir que as entradas fora da diagonal sejam iguais:
x^{2} = 2x-1.]

Passo 4

Resolver a equação obtida:
x^{2}=2x-1
Passo a todas as parcelas para um lado:
x^{2}-2x+1=0.
Reconhece-se que o polinômio é um quadrado perfeito; fatorando:
(x-1)^{2}=0.
Logo a solução é
x=1.
Como verificação rápida: para x=1 tem-se x^{2}=1 e 2x-1=1, então as duas entradas fora da diagonal coincidem e a matriz fica simétrica.

Passo 5

Conclusão final: o único valor de x que torna A simétrica é x=1. Força aí nos estudos — você já tirou esse problema do caminho!

Resposta

x=1

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