Sejam
e
matrizes ortogonais de mesma ordem.
é uma matriz ortogonal?
é uma matriz ortogonal? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
ortogonais da mesma ordem e pergunta duas coisas separadas:
-
é uma matriz ortogonal? -
é uma matriz ortogonal?
Informações úteis que o enunciado fornece (definição usada como dado):
- Como
é ortogonal, vale . - Como
é ortogonal, vale .
Passo 2
Vou usar uma propriedade elemental da transposição: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis
e
vale
Explicação rápida (índice) dessa propriedade: o elemento
de
é
. Por outro lado, o elemento
de
é
, que coincide com
. Logo
.
Passo 3
Calculemos
usando a propriedade anterior e as igualdades dadas:
Como
é ortogonal,
. Substituindo:
E como
é ortogonal,
. Portanto
Pelo critério de ortogonalidade (uma matriz
é ortogonal se e somente se
), concluímos que
é ortogonal.
Passo 4
Comentário extra (útil na prova): outra forma equivalente de ver isso é observar que para matrizes quadradas invertíveis
. Se
e
são ortogonais então
e
, daí
ou seja, a transposta coincide com a inversa, o que é outra caracterização de matriz ortogonal.
Passo 5
Agora mostro que
é ortogonal. Parto da igualdade
(que temos porque
é ortogonal) e aplico a transposição em ambos os lados. Usando
e
obtenho:
Como
, isso dá
Agora calcule a quantidade que define ortogonalidade para
:
Portanto
satisfaz a condição
e assim
é ortogonal.
Passo 6
Interpretação geométrica curta para fixar a ideia: matrizes ortogonais representam transformações lineares que preservam comprimentos e ângulos (por exemplo rotações e reflexões). Compor duas transformações que preservam comprimento (fazer uma depois da outra) produz outra transformação que também preserva comprimento — é o mesmo que afirmar algebraicamente que o produto de ortogonais é ortogonal. A transposta corresponde, no caso ortogonal, à inversa da transformação (por exemplo, a transposta de uma rotação é a rotação no ângulo negativo), então a transposta também é ortogonal.
Resposta
Sim.
é ortogonal.
Sim. é ortogonal.
Sim.