Sejam P e Q matrizes ortogonais de mesma ordem.
P Q é uma matriz ortogonal? P^{T} é uma matriz ortogonal? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes P e Q ortogonais da mesma ordem e pergunta duas coisas separadas:
  • P Q é uma matriz ortogonal?
  • P^{T} é uma matriz ortogonal?
Informações úteis que o enunciado fornece (definição usada como dado):
  • Como P é ortogonal, vale \,P^{T}P=I\,.
  • Como Q é ortogonal, vale \,Q^{T}Q=I\,.

Passo 2

Vou usar uma propriedade elemental da transposição: para quaisquer matrizes quadradas compatíveis A e B vale
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}.
Explicação rápida (índice) dessa propriedade: o elemento (i,j) de (AB)^{T} é ((AB)^{T})_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_{k}A_{jk}B_{ki}. Por outro lado, o elemento (i,j) de B^{T}A^{T} é (B^{T}A^{T})_{ij}=\sum_{k}B^{T}_{ik}A^{T}_{kj}=\sum_{k}B_{ki}A_{jk}, que coincide com \sum_{k}A_{jk}B_{ki}. Logo (AB)^{T}=B^{T}A^{T}.

Passo 3

Calculemos (PQ)^{T}(PQ) usando a propriedade anterior e as igualdades dadas:
(PQ)^{T}(PQ)=Q^{T}P^{T}PQ.
Como P é ortogonal, P^{T}P=I. Substituindo:
Q^{T}P^{T}PQ=Q^{T}IQ=Q^{T}Q.
E como Q é ortogonal, Q^{T}Q=I. Portanto
(PQ)^{T}(PQ)=I.
Pelo critério de ortogonalidade (uma matriz A é ortogonal se e somente se A^{T}A=I), concluímos que PQ é ortogonal.

Passo 4

Comentário extra (útil na prova): outra forma equivalente de ver isso é observar que para matrizes quadradas invertíveis (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. Se P e Q são ortogonais então P^{-1}=P^{T} e Q^{-1}=Q^{T}, daí
(PQ)^{-1}=Q^{-1}P^{-1}=Q^{T}P^{T}=(PQ)^{T},
ou seja, a transposta coincide com a inversa, o que é outra caracterização de matriz ortogonal.

Passo 5

Agora mostro que P^{T} é ortogonal. Parto da igualdade \,P^{T}P=I (que temos porque P é ortogonal) e aplico a transposição em ambos os lados. Usando (AB)^{T}=B^{T}A^{T} e I^{T}=I obtenho:
(P^{T}P)^{T}=I^{T}\quad\Rightarrow\quad P^{T}{}^{T}P^{T}=I.
Como P^{T}{}^{T}=P, isso dá
PP^{T}=I.
Agora calcule a quantidade que define ortogonalidade para P^{T}:
(P^{T})^{T}(P^{T})=P P^{T}=I.
Portanto P^{T} satisfaz a condição (P^{T})^{T}(P^{T})=I e assim P^{T} é ortogonal.

Passo 6

Interpretação geométrica curta para fixar a ideia: matrizes ortogonais representam transformações lineares que preservam comprimentos e ângulos (por exemplo rotações e reflexões). Compor duas transformações que preservam comprimento (fazer uma depois da outra) produz outra transformação que também preserva comprimento — é o mesmo que afirmar algebraicamente que o produto de ortogonais é ortogonal. A transposta corresponde, no caso ortogonal, à inversa da transformação (por exemplo, a transposta de uma rotação é a rotação no ângulo negativo), então a transposta também é ortogonal.

Resposta

Sim. PQ é ortogonal.
Sim. P^{T} é ortogonal.

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