Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}a+2 b & 2 a-b \\\\ 2 c+d & c-2 d\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}9 & -2 \\\\ 4 & 7\end{array}\right], determine a, b, c e d para que A=B.
Igualdade de matrizes significa que cada entrada correspondente deve ser igual. Portanto obtemos o sistema de quatro equações (peguei cada número das entradas de B):
Vamos resolver o par de equações para a\) e \(b\):
\[\begin{cases} a+2b=9,\\[4pt] 2a-b=-2. \end{cases}
Método (substituição simples): isolar b\] na segunda equação. Da segunda equação,
\[2a-b=-2 \quad\Rightarrow\quad -b=-2a-2 \quad\Rightarrow\quad b=2a+2.\]
Expliquei: isolei \(b trocando de lado e mudando sinal; atenção com os sinais.
Agora substituo esse b na primeira equação:
a+2(2a+2)=9.
Faço as contas passo a passo:
a+4a+4=9,
5a+4=9,
5a=9-4=5,
a=1.
Com a=1, volto na expressão b=2a+2:
b=2\cdot 1+2=2+2=4.]
Passo 3
Agora resolvo o par para c\) e \(d\):
\[\begin{cases} 2c+d=4,\\[4pt] c-2d=7. \end{cases}
Método (substituição): isolo (d] na primeira equação: 2c+d=4 \quad\Rightarrow\quad d=4-2c.
Substituo na segunda equação: c-2(4-2c)=7.
Faço as contas com calma: c-8+4c=7,
5c-8=7,
5c=7+8=15,
c=3.
Com c=3, calculo d usando d=4-2c:
d=4-2\cdot 3=4-6=-2.]
Passo 4
Conferência rápida (verificação): substituir os valores encontrados em A e checar que dá B.