Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}a+2 b & 2 a-b \\\\ 2 c+d & c-2 d\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}9 & -2 \\\\ 4 & 7\end{array}\right], determine a, b, c e d para que A=B.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} a+2b & 2a-b\\[4pt] 2c+d & c-2d \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad B=\left[\begin{array}{cc} 9 & -2\\[4pt] 4 & 7 \end{array}\right]
e pede para determinar a,b,c,d tal que A=B.
Igualdade de matrizes significa que cada entrada correspondente deve ser igual. Portanto obtemos o sistema de quatro equações (peguei cada número das entradas de B):
\begin{cases} a+2b=9,\\[4pt] 2a-b=-2,\\[4pt] 2c+d=4,\\[4pt] c-2d=7. \end{cases}]

Passo 2

Vamos resolver o par de equações para a\) e \(b\): \[\begin{cases} a+2b=9,\\[4pt] 2a-b=-2. \end{cases}
Método (substituição simples): isolar b\] na segunda equação. Da segunda equação, \[2a-b=-2 \quad\Rightarrow\quad -b=-2a-2 \quad\Rightarrow\quad b=2a+2.\] Expliquei: isolei \(b trocando de lado e mudando sinal; atenção com os sinais.
Agora substituo esse b na primeira equação:
a+2(2a+2)=9.
Faço as contas passo a passo:
a+4a+4=9,
5a+4=9,
5a=9-4=5,
a=1.
Com a=1, volto na expressão b=2a+2:
b=2\cdot 1+2=2+2=4.]

Passo 3

Agora resolvo o par para c\) e \(d\): \[\begin{cases} 2c+d=4,\\[4pt] c-2d=7. \end{cases}
Método (substituição): isolo (d] na primeira equação:
2c+d=4 \quad\Rightarrow\quad d=4-2c.
Substituo na segunda equação:
c-2(4-2c)=7.
Faço as contas com calma:
c-8+4c=7,
5c-8=7,
5c=7+8=15,
c=3.
Com c=3, calculo d usando d=4-2c:
d=4-2\cdot 3=4-6=-2.]

Passo 4

Conferência rápida (verificação): substituir os valores encontrados em A e checar que dá B.
Substituindo a=1 e b=4:
a+2b=1+2\cdot4=1+8=9,\qquad 2a-b=2\cdot1-4=2-4=-2.
Substituindo c=3 e d=-2:
2c+d=2\cdot3+(-2)=6-2=4,\qquad c-2d=3-2(-2)=3+4=7.
Portanto
A=\left[\begin{array}{cc} 9 & -2\\[4pt] 4 & 7 \end{array}\right]=B,
confirmando que os valores estão corretos.]

Resposta

a=1
b=4
c=3
d=-2

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