Mostre que as singularidades das funções são pólos. Determine a ordem m dos pólos e os correspondentes resíduos b1.
z+1z^2-2 z

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função f(z)=z+1z^2-2z, identificar suas singularidades, mostrar que são polos, determinar a ordem m de cada polo e calcular o resíduo b1 em cada um. Vamos usar conceitos de análise complexa: singularidades, polos e fórmula de resíduo para polo simples.

Passo 2

Para achar as singularidades, igualamos o denominador a zero:
z^2-2z = z(z-2) = 0
Logo, as singularidades estão em z=0 e z=2.

Passo 3

Cada fator no denominador aparece apenas na primeira potência. Isso significa que em cada ponto z=a o comportamento local de f(z) é sim1/(z-a). Portanto ambos são polos simples, i.e., de ordem m=1.

Passo 4

Para um polo simples em z=a, o resíduo é dado por
b1 = limzto a(z-a)f(z)
No polo z=0:
b1(0)=limzto0 zcdotz+1z(z-2)=limzto0z+1z-2=1-2=-tfrac12
No polo z=2:
b1(2)=limzto2(z-2)cdotz+1z(z-2)=limzto2z+1z=32

Resposta

As singularidades são em z=0 e z=2, ambas polos simples (ordem m=1). Os resíduos são b₁(0)=−1/2 e b₁(2)=3/2.

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