Mostre que se no sistema de equações:
\begin{cases}m d c(x, y) & =d \\\ m m c(x, y) & =m\end{cases}
d \nmid m, ele não admite solução. Mostre que se d / m, o sistema sempre admite solução.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
\begin{cases} \mathrm{mdc}(x,y)=d,\\\ \mathrm{mmc}(x,y)=m. \end{cases}
O conteúdo envolve divisibilidade e as propriedades do máximo divisor comum (mdc) e do mínimo múltiplo comum (mmc). Em particular, vamos usar que se a\mid b então
\mathrm{mdc}(a,b)=a e \mathrm{mmc}(a,b)=b,
e que \mathrm{mmc}(x,y) é múltiplo de x e de y.

Passo 2

Suponha que existam x,y tais que
\mathrm{mdc}(x,y)=d e \mathrm{mmc}(x,y)=m.
Como \mathrm{mmc}(x,y)=m é múltiplo de x e de y, segue
x\mid m \quad\text{e}\quad y\mid m.
Além disso, de \mathrm{mdc}(x,y)=d vem
d\mid x \quad\text{e}\quad d\mid y.
Logo d divide m. Concluímos que, se d\nmid m, não pode haver solução.

Passo 3

Agora suponha d\mid m. Tomemos
x=d, \quad y=m.
Como d\mid m, vale
\mathrm{mdc}(d,m)=d \quad\text{e}\quad \mathrm{mmc}(d,m)=m.
Portanto (x,y)=(d,m) satisfaz o sistema, provando que sempre existe solução quando d\mid m.

Resposta

Se d\nmid m, não há solução. Se d\mid m, uma solução explícita é
x=d,\quad y=m.

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