Mostre que se no sistema de equações:
, ele não admite solução. Mostre que se
, o sistema sempre admite solução.
Passo 1
O enunciado apresenta o sistema
O conteúdo envolve divisibilidade e as propriedades do máximo divisor comum (mdc) e do mínimo múltiplo comum (mmc). Em particular, vamos usar que se
então
e
,
e que é múltiplo de
e de
.
e que
Passo 2
Suponha que existam
tais que
e
.
Como é múltiplo de
e de
, segue
Como
Além disso, de
vem
Logo
divide
. Concluímos que, se
, não pode haver solução.
Passo 3
Agora suponha
. Tomemos
Como
, vale
Portanto
satisfaz o sistema, provando que sempre existe solução quando
.
Resposta
Se
, não há solução. Se
, uma solução explícita é