\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(2 k)!} )CONVERGE OU DIVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!}.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de termos não negativos.

Passo 2

Definimos
a_{k} = \frac{(k!)^{2}}{(2k)!}.
Aplicamos o Teste da Razão, calculando
\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\displaystyle\frac{\bigl((k+1)!\bigr)^{2}}{(2k+2)!}}{\displaystyle\frac{(k!)^{2}}{(2k)!}} = \frac{(k+1)^{2}\,(k!)^{2}}{(2k+2)(2k+1)\,(2k)!}\,\frac{(2k)!}{(k!)^{2}} = \frac{(k+1)^{2}}{(2k+2)(2k+1)}.

Passo 3

Simplificamos a razão encontrada:
\frac{(k+1)^{2}}{(2k+2)(2k+1)} = \frac{(k+1)^{2}}{2(k+1)\,(2k+1)} = \frac{k+1}{2(2k+1)} = \frac{k+1}{4k+2}.
Tomando o limite quando k\to\infty, obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{4k+2} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Como o limite da razão é
\frac{1}{4} < 1,
pelo Teste da Razão a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge.

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