Faça o que se pede:
(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma 3 n+1 ou 3 n+2.
(b) Mostre que qualquer número da forma 3 n+2 possui um fator primo da mesma forma.
(c) Mostre que existem infinitos números primos da forma 3 n+2.
(d) Mostre que existem inifinitos primos da forma 3 n+1.

Passo 1

O enunciado pede quatro resultados sobre números primos e congruências módulo 3. O conteúdo é aritmética modular básica e prova por divisão em resto e por contradição (ou Euclides modificado). Vamos usar que todo inteiro deixa resto 0, 1 ou 2 na divisão por 3 e argumentos sobre fatores primos.

Passo 2

(a) Para qualquer número inteiro p>3 que seja primo, ao dividir por 3 só pode sobrar 0, 1 ou 2. Se o resto fosse 0, teríamos 3\mid p, então p=3, contradizendo p>3. Logo o resto não é 0, sobram apenas os casos resto 1 ou 2. Portanto todo primo p>3 é ou da forma
p=3n+1 \quad\text{ou}\quad p=3n+2.

Passo 3

(b) Seja N=3n+2. Se todos os seus fatores primos fossem congruentes a 1 módulo 3 (ou um deles fosse 3), então o produto seria congruente a 1 (ou a 0) módulo 3, nunca a 2. De fato, se cada primo divisor q\equiv1\pmod3, então N\equiv1^k\equiv1\pmod3, e se algum divisor fosse 3, então N\equiv0\pmod3. Mas N\equiv2\pmod3. Portanto deve existir pelo menos um fator primo q tal que
q\equiv2\pmod3,
isto é, da forma 3m+2.

Passo 4

(c) Suponha, por absurdo, que haja apenas finisitas primos p_{1},\dots,p_{k} com p_i\equiv2\pmod3. Considere
M = 3\bigl(p_{1}p_{2}\cdots p_{k}\bigr) - 1.
Então M\equiv-1\equiv2\pmod3, de modo que, pelo item (b), M tem algum fator primo q\equiv2\pmod3. Mas nenhum dos p_i divide M, pois se p_i\mid M então
M \equiv 0\pmod{p_i} \quad\Longrightarrow\quad 3(p_{1}\cdots p_{k}) \equiv 1\pmod{p_i},
o que é impossível já que p_i\mid p_{1}\cdots p_{k}. Logo q é um novo primo congruente a 2 módulo 3, contradizendo a finitude. Concluímos que existem infinitos primos da forma 3n+2.

Passo 5

(d) De modo análogo, suponha finitamente muitos primos r_{1},\dots,r_{m} com r_j\equiv1\pmod3. Considere
N = 3\bigl(r_{1}r_{2}\cdots r_{m}\bigr) + 1.
Temos N\equiv1\pmod3, logo nenhum fator primo de N pode ser 3. Qualquer primo divisor q de N satisfaz q\not\equiv2\pmod3 (pois então N\equiv2), nem pode ser 3, resta q\equiv1\pmod3. Além disso, q não é nenhum dos r_j pois N\equiv1\pmod{r_j} impede r_j\mid N. Assim surge um novo primo q\equiv1\pmod3, contradizendo a hipótese de finitude. Logo existem infinitos primos da forma 3n+1.

Resposta

(a) Todo primo p>3 deixa resto 1 ou 2 na divisão por 3, logo é 3n+1 ou 3n+2.
(b) Se N=3n+2, algum fator primo deve ser \equiv2\pmod3.
(c) Há infinitos primos da forma 3n+2.
(d) Há infinitos primos da forma 3n+1.

Exercícios relacionados