Faça o que se pede:
(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma
ou
.
(b) Mostre que qualquer número da forma
possui um fator primo da mesma forma.
(c) Mostre que existem infinitos números primos da forma
.
(d) Mostre que existem inifinitos primos da forma
.
(a) Mostre que todo primo maior do que 3 é da forma
(b) Mostre que qualquer número da forma
(c) Mostre que existem infinitos números primos da forma
(d) Mostre que existem inifinitos primos da forma
Passo 1
O enunciado pede quatro resultados sobre números primos e congruências módulo 3. O conteúdo é aritmética modular básica e prova por divisão em resto e por contradição (ou Euclides modificado). Vamos usar que todo inteiro deixa resto
,
ou
na divisão por 3 e argumentos sobre fatores primos.
Passo 2
(a) Para qualquer número inteiro
que seja primo, ao dividir por 3 só pode sobrar
,
ou
. Se o resto fosse
, teríamos
, então
, contradizendo
. Logo o resto não é
, sobram apenas os casos resto
ou
. Portanto todo primo
é ou da forma
Passo 3
(b) Seja
. Se todos os seus fatores primos fossem congruentes a
módulo 3 (ou um deles fosse 3), então o produto seria congruente a
(ou a
) módulo 3, nunca a
. De fato, se cada primo divisor
, então
, e se algum divisor fosse
, então
. Mas
. Portanto deve existir pelo menos um fator primo
tal que
isto é, da forma
.
Passo 4
(c) Suponha, por absurdo, que haja apenas finisitas primos
com
. Considere
Então
, de modo que, pelo item (b),
tem algum fator primo
. Mas nenhum dos
divide
, pois se
então
o que é impossível já que
. Logo
é um novo primo congruente a
módulo 3, contradizendo a finitude. Concluímos que existem infinitos primos da forma
.
Passo 5
(d) De modo análogo, suponha finitamente muitos primos
com
. Considere
Temos
, logo nenhum fator primo de
pode ser
. Qualquer primo divisor
de
satisfaz
(pois então
), nem pode ser
, resta
. Além disso,
não é nenhum dos
pois
impede
. Assim surge um novo primo
, contradizendo a hipótese de finitude. Logo existem infinitos primos da forma
.
Resposta
(a) Todo primo
deixa resto
ou
na divisão por 3, logo é
ou
.
(b) Se , algum fator primo deve ser
.
(c) Há infinitos primos da forma .
(d) Há infinitos primos da forma .
(b) Se
(c) Há infinitos primos da forma
(d) Há infinitos primos da forma