- Mostre que a solução geral de:
no intervalo
(-infty,+infty) é:
X=c1(r 6 -1 -5 ) e^-t+c2(r -3 1 1 ) e^-2 t+c3(l 2 1 1 ) e^-3 t
Passo 1
Aqui temos um sistema de EDO linear homogêneo com coeficientes constantes:
A equação é
A equação é
onde
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico:
Assim, as raízes são
Passo 3
Para cada autovalor resolvemos
(A-lambdai I)vi=0 e obtemos os autovetores:
Passo 4
Mostramos agora que a função
é solução de
X'=AX :
– Derivando:
Xi'(t)=lambdai,vi,e^lambdai t .
– Aplicando a
A :
Isso vale para
i=1,2,3 .
Passo 5
Como os três autovetores
v1,v2,v3 correspondem a autovalores distintos, eles são linearmente independentes em
R^3 .
Logo, a combinação linear
Logo, a combinação linear
é a solução geral do sistema no intervalo
( -infty,+infty ) .