1. Mostre que a solução geral de:
X^prime=(lll 0 & 6 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ) X
no intervalo (-infty,+infty) é:
X=c1(r 6 -1 -5 ) e^-t+c2(r -3 1 1 ) e^-2 t+c3(l 2 1 1 ) e^-3 t

Passo 1

Aqui temos um sistema de EDO linear homogêneo com coeficientes constantes:
A equação é
X'=A,X,
onde
A=0 & 6 & 01 & 0 & 11 & 1 & 0
Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=det-lambda & 6 & 01 & -lambda & 11 & 1 & -lambda =- (lambda+1)(lambda+2)(lambda+3)
Assim, as raízes são
lambda1=-1, lambda2=-2, lambda3=-3

Passo 3

Para cada autovalor resolvemos (A-lambdai I)vi=0 e obtemos os autovetores:
v1=6-1-5, v2=-311, v3=211

Passo 4

Mostramos agora que a função
Xi(t)=vi,e^lambdai t
é solução de X'=AX:
– Derivando: Xi'(t)=lambdai,vi,e^lambdai t.
– Aplicando a A:
A,Xi(t)=A,vi,e^lambdai t=lambdai,vi,e^lambdai t=Xi'(t)
Isso vale para i=1,2,3.

Passo 5

Como os três autovetores v1,v2,v3 correspondem a autovalores distintos, eles são linearmente independentes em R^3.
Logo, a combinação linear
X(t)=c1,v1,e^-t+c2,v2,e^-2t+c3,v3,e^-3t
é a solução geral do sistema no intervalo ( -infty,+infty ).

Resposta

X=c16-1-5e^-t+c2-311e^-2t+c3211e^-3t

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