Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
com as condições iniciais
Informações fornecidas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais em
.
Passo 2
Método padrão (tentativa exponencial): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Aqui a ideia é que ao substituir
na equação, as derivadas ficam múltiplos de
e isso reduz o problema a uma equação algébrica para
(a chamada equação característica).
Passo 3
Substituindo
em
obtemos a equação característica
Essa é uma equação quadrática em
. Calculamos o discriminante:
Como
, a quadrática tem uma raiz real dupla. A raiz é
Passo 4
Consequência da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz dupla
, as duas soluções fundamentais independentes da equação homogênea são
Portanto a solução geral da equação diferencial é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
(Comentário didático: multiplicamos por para obter a segunda solução independente quando a raiz é repetida — isso vem da teoria de redução de ordem e garante independência linear.)
(Comentário didático: multiplicamos por
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Avaliando a solução geral em
:
Logo
Passo 6
Agora usamos a segunda condição
. Primeiro precisamos da expressão de
. Usamos a regra do produto: se
então
. Aqui
e
. Calculamos:
Portanto
Colocando em forma combinada:
Passo 7
Avaliando em
e usando
:
Pela condição inicial
, temos
Substituindo
: