Resolva as equações diferenciais com as condições iniciais indicadas (PVI):
y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=0, y(0)=3, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por:
y'' + 6y' + 9y = 0,
com as condições iniciais
y(0)=3,\qquad y'(0)=1.
Informações fornecidas: a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e duas condições iniciais em t=0.

Passo 2

Método padrão (tentativa exponencial): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é comum tentar uma solução da forma
y(t)=e^{rt},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Aqui a ideia é que ao substituir y=e^{rt} na equação, as derivadas ficam múltiplos de e^{rt} e isso reduz o problema a uma equação algébrica para r (a chamada equação característica).

Passo 3

Substituindo y=e^{rt} em y''+6y'+9y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+6r+9=0.
Essa é uma equação quadrática em r. Calculamos o discriminante:
\Delta = 6^{2}-4\cdot1\cdot9 = 36-36 = 0.
Como \Delta=0, a quadrática tem uma raiz real dupla. A raiz é
r = \frac{-6}{2} = -3.

Passo 4

Consequência da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz dupla r=-3, as duas soluções fundamentais independentes da equação homogênea são
e^{-3t}\quad\text{e}\quad t e^{-3t}.
Portanto a solução geral da equação diferencial é
y(t)=C_{1}e^{-3t}+C_{2}t e^{-3t} = \bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{-3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
(Comentário didático: multiplicamos por t para obter a segunda solução independente quando a raiz é repetida — isso vem da teoria de redução de ordem e garante independência linear.)

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=3. Avaliando a solução geral em t=0:
y(0)=\bigl(C_{1}+C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{1}=3.
Logo
C_{1}=3.

Passo 6

Agora usamos a segunda condição y'(0)=1. Primeiro precisamos da expressão de y'(t). Usamos a regra do produto: se y(t)=u(t)v(t) então y'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Aqui u(t)=C_{1}+C_{2}t e v(t)=e^{-3t}. Calculamos:
u'(t)=C_{2},\qquad v'(t)=-3e^{-3t}.
Portanto
y'(t)=C_{2}e^{-3t} + \bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)(-3e^{-3t}).
Colocando em forma combinada:
y'(t)=\bigl(C_{2}-3C_{1}-3C_{2}t\bigr)e^{-3t}.

Passo 7

Avaliando em t=0 e usando C_{1}=3:
y'(0)=\bigl(C_{2}-3C_{1}-3C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{2}-3C_{1}.
Pela condição inicial y'(0)=1, temos
C_{2}-3C_{1}=1.
Substituindo C_{1}=3:
C_{2}-3\cdot 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}-9=1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=10.

Resposta

y(t)=\bigl(3+10t\bigr)e^{-3t}

Exercícios relacionados