Mostre que uma soluçāo implícita de
2 r \sin ^{2}(y) d x-\left(x^{2}+10\right) \cos (y) d y-0
é dada por \ln \left(x^{2}+10\right)+\csc (y)-C. Ache as soluçōes constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equaçāo diferencial.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Interpreto o enunciado como a forma diferencial
2x\sin^{2}(y)\,dx-(x^{2}+10)\cos(y)\,dy=0,
supondo que o símbolo r era um x. O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que uma solução implícita é \ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)-C=0 (ou seja \ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C).
  • Achar as soluções constantes (se houver) que podem ter sido perdidas durante a resolução (por exemplo, se dividimos por algo que pode ser zero).
As informações relevantes que temos:
  • A equação diferencial está dada na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2x\sin^{2}(y) e N(x,y)=-(x^{2}+10)\cos(y).
  • A candidata a solução implícita é \ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C.

Passo 2

Primeiro vou verificar diferenciando a solução implícita candidata e mostrar que ela produz exatamente a equação diferencial dada. Diferenciando implicitamente
\ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C,
obtém-se
\frac{d}{dx}\!\bigg(\ln\!\left(x^{2}+10\right)\bigg)\,dx+\frac{d}{dx}\!\big(\csc(y)\big)\,dy=0.
Agora calculo as derivadas parciais/derivadas conhecidas:
  • A derivada de \ln\!\left(x^{2}+10\right) em relação a x é \dfrac{2x}{x^{2}+10}. Ou seja,
\frac{d}{dx}\!\bigg(\ln\!\left(x^{2}+10\right)\bigg)=\frac{2x}{x^{2}+10}.
  • A derivada de \csc(y) em relação a y é -\csc(y)\cot(y). Ou seja,
\frac{d}{dy}\!\big(\csc(y)\big)=-\csc(y)\cot(y).
Portanto a diferenciação implícita dá
\frac{2x}{x^{2}+10}\,dx-\csc(y)\cot(y)\,dy=0.

Passo 3

Transformo a expressão obtida para a forma da equação dada. Observação útil: \csc(y)\cot(y)=\dfrac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)} porque \csc(y)=\dfrac{1}{\sin(y)} e \cot(y)=\dfrac{\cos(y)}{\sin(y)}. Substituindo isso na expressão do passo anterior:
\frac{2x}{x^{2}+10}\,dx-\frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy=0.
Multiplicando toda a equação por x^{2}+10 obtemos
2x\,dx-(x^{2}+10)\frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy=0.
Finalmente, multiplicando por \sin^{2}(y) chegamos exatamente à forma original:
2x\sin^{2}(y)\,dx-(x^{2}+10)\cos(y)\,dy=0.
Portanto a diferenciação da candidata \ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C gera a equação diferencial dada, o que mostra que essa expressão é de fato uma família de soluções implícitas (onde as operações de multiplicação por funções não nulas são reversíveis dentro do domínio adequado).

Passo 4

Agora mostro de forma construtiva como chegar na solução implícita sem adivinhar: transformar a equação para uma forma integrável (separável). Parto da equação dada
2x\sin^{2}(y)\,dx=(x^{2}+10)\cos(y)\,dy.
Rearranjo para separar as variáveis x e y. Divido ambos os lados por (x^{2}+10)\sin^{2}(y), assumindo provisoriamente \sin(y)\neq0:
\frac{2x}{x^{2}+10}\,dx=\frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy.
Agora integro os dois lados:
  • O lado em x:
\int \frac{2x}{x^{2}+10}\,dx.
Faço a substituição simples u=x^{2}+10, então du=2x\,dx. Assim a integral vira
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|=\ln\!\left(x^{2}+10\right).
  • O lado em y:
\int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy.
Reescrevo \dfrac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)} como -\dfrac{d}{dy}\!\left(\dfrac{1}{\sin(y)}\right), porque \dfrac{d}{dy}\!\big(\csc(y)\big)=-\csc(y)\cot(y)=-\dfrac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}. Então
\int \frac{\cos(y)}{\sin^{2}(y)}\,dy=-\csc(y).
Juntando os resultados das integrais e somando a constante de integração obtemos
\ln\!\left(x^{2}+10\right)-\csc(y)=\widetilde{C},
ou reorganizando
\ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C,
que é exatamente a solução implícita proposta. Nota: ao dividir por \sin^{2}(y) assumiu-se \sin(y)\neq0; isso cria a possibilidade de soluções perdidas quando \sin(y)=0. Vou tratar disso no próximo passo.

Passo 5

Achar as soluções constantes que foram possivelmente perdidas. Quando se divide por \sin^{2}(y) perdemos as soluções em que \sin(y)=0. Procuro, então, soluções com y= constante. Seja y=y_{0} constante; então dy=0. Substituindo na equação original
2x\sin^{2}(y_{0})\,dx-(x^{2}+10)\cos(y_{0})\cdot 0=0,
fica simplesmente
2x\sin^{2}(y_{0})\,dx=0.
Para que essa igualdade seja válida para variação arbitrária de x ao longo da curva (ou para todos os pontos da reta horizontal y=y_{0}), é necessário que o coeficiente seja zero, isto é \sin^{2}(y_{0})=0. Isso implica
\sin(y_{0})=0 \quad\Rightarrow\quad y_{0}=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Para esses valores de y a equação diferencial é satisfeita identicamente (os dois termos ficam nulos quando dy=0 e \sin(y_{0})=0), então as retas horizontais y=k\pi são soluções em separado. Essas soluções não aparecem na expressão \ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C porque \csc(y) é indefinida em y=k\pi (divisão por zero). Portanto foram “perdidas” ao dividir por \sin^{2}(y).
Não existem outras soluções constantes em x (retas verticais x= const) porque x= const implicaria dx=0 e então a equação exigiria -(x^{2}+10)\cos(y)\,dy=0 para todo y, o que não é possível já que x^{2}+10>0 sempre.

Passo 6

Resumo sobre domínio e soluções: A família
\ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C
é válida para pontos onde \sin(y)\neq0 (ou seja y\neq k\pi). As soluções horizontais y=k\pi (com k\in\mathbb{Z}) são soluções adicionais que não aparecem na família implícita por causa da singularidade de \csc(y) nesses pontos.

Resposta

\ln\!\left(x^{2}+10\right)+\csc(y)=C
y=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}

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