Mostre que uma soluçāo implícita de
é dada por
. Ache as soluçōes constantes, se houver, que foram perdidas na solução da equaçāo diferencial.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Interpreto o enunciado como a forma diferencial
supondo que o símbolo
era um
. O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que uma solução implícita é
(ou seja ). - Achar as soluções constantes (se houver) que podem ter sido perdidas durante a resolução (por exemplo, se dividimos por algo que pode ser zero).
As informações relevantes que temos:
- A equação diferencial está dada na forma
com e . - A candidata a solução implícita é
.
Passo 2
Primeiro vou verificar diferenciando a solução implícita candidata e mostrar que ela produz exatamente a equação diferencial dada. Diferenciando implicitamente
obtém-se
Agora calculo as derivadas parciais/derivadas conhecidas:
- A derivada de
em relação a é . Ou seja,
- A derivada de
em relação a é . Ou seja,
Portanto a diferenciação implícita dá
Passo 3
Transformo a expressão obtida para a forma da equação dada. Observação útil:
porque
e
. Substituindo isso na expressão do passo anterior:
Multiplicando toda a equação por
obtemos
Finalmente, multiplicando por
chegamos exatamente à forma original:
Portanto a diferenciação da candidata
gera a equação diferencial dada, o que mostra que essa expressão é de fato uma família de soluções implícitas (onde as operações de multiplicação por funções não nulas são reversíveis dentro do domínio adequado).
Passo 4
Agora mostro de forma construtiva como chegar na solução implícita sem adivinhar: transformar a equação para uma forma integrável (separável). Parto da equação dada
Rearranjo para separar as variáveis
e
. Divido ambos os lados por
, assumindo provisoriamente
:
Agora integro os dois lados:
- O lado em
:
Faço a substituição simples
, então
. Assim a integral vira
- O lado em
:
Reescrevo
como
, porque
. Então
Juntando os resultados das integrais e somando a constante de integração obtemos
ou reorganizando
que é exatamente a solução implícita proposta. Nota: ao dividir por
assumiu-se
; isso cria a possibilidade de soluções perdidas quando
. Vou tratar disso no próximo passo.
Passo 5
Achar as soluções constantes que foram possivelmente perdidas. Quando se divide por
perdemos as soluções em que
. Procuro, então, soluções com
constante. Seja
constante; então
. Substituindo na equação original
fica simplesmente
Para que essa igualdade seja válida para variação arbitrária de
ao longo da curva (ou para todos os pontos da reta horizontal
), é necessário que o coeficiente seja zero, isto é
. Isso implica
Para esses valores de
a equação diferencial é satisfeita identicamente (os dois termos ficam nulos quando
e
), então as retas horizontais
são soluções em separado. Essas soluções não aparecem na expressão
porque
é indefinida em
(divisão por zero). Portanto foram “perdidas” ao dividir por
.
Não existem outras soluções constantes em
(retas verticais
const) porque
const implicaria
e então a equação exigiria
para todo
, o que não é possível já que
sempre.
Passo 6
Resumo sobre domínio e soluções: A família
é válida para pontos onde
(ou seja
). As soluções horizontais
(com
) são soluções adicionais que não aparecem na família implícita por causa da singularidade de
nesses pontos.