Prove os seguintes limites pela definição:
Passo 1
O enunciado pede para provar, pela definição (epsilon–delta), que
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de limite é
. - O valor limite a ser provado é
.
O que precisamos mostrar formalmente: para todo
existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Vou explicar a definição que vamos usar. A afirmação
significa que para cada
(um número pequeno que eu escolher), deve existir um
dependendo possivelmente de
tal que sempre que
estiver dentro da distância
de
(mas diferente de
), isto é
, então o valor de
estará dentro da distância
de
:
.
Nosso trabalho é, dado um
arbitrário, construir um
apropriado e provar a implicação acima.
Passo 3
Vamos manipular
para ver de que forma podemos controlá‑la. Começo calculando a diferença:
Agora fatoramos o polinômio quadrático:
Portanto
Isto é útil porque aparece o fator
que já aparece na hipótese
. A dificuldade restante é o fator
, que depende de
e precisa ser controlado por algo que não dependa de
(apenas de
).
Passo 4
Estratégia clássica: restringir
para garantir que
fique próximo de
(por exemplo dentro de
unidade), o que permite obter um limite superior fixo para
. Escolhemos inicialmente uma restrição fácil: tomar
. Se
, então
Somando
em todas as partes obtém-se
logo
Assim, sempre que
temos o bound
Passo 5
Usando o bound anterior, para garantir
basta impor
Portanto uma escolha conveniente de
que garante simultaneamente
e
é
Explicação: esta escolha assegura que, se
, então automaticamente
(portanto
) e
; combinando os dois obtemos
.
Passo 6
Agora faço a prova formal com a escolha de
acima.
Seja dado um
. Defina
. Suponha
tal que
. Então, como
, segue que
e portanto
, o que implica
. Usando a fatoração obtida:
Como também
, obtemos
Assim, para este
temos que sempre que
ocorre
. Isso prova, pela definição epsilon–delta, que