Prove os seguintes limites pela definição: \lim _{x \rightarrow 2} x^{2}-2 x+3=3
Passo 1
O enunciado pede que se prove o limite
\lim_{x\to 2} x^{2}-2x+3 = 3.
Ou seja, preciso mostrar, usando a definição formal de limite (épsilon–delta), que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, então
\bigl|x^{2}-2x+3-3\bigr|<\varepsilon.
Vou listar as informações dadas de forma clara:
Função: f(x)=x^{2}-2x+3.
Ponto de interesse: x\to 2.
Valor candidato do limite: L=3.
Objetivo: para cada \varepsilon>0 encontrar \delta>0 que satisfaça a condição da definição.
Passo 2
Começo simplificando a expressão que precisa ficar pequena. Subtraindo 3 de f(x):
f(x)-3 = x^{2}-2x+3-3 = x^{2}-2x.
Fatorando:
x^{2}-2x = x(x-2).
Portanto, em módulo,
\bigl|f(x)-3\bigr| = |x^{2}-2x| = |x||x-2|.
Explicando: a expressão que queremos tornar menor que \varepsilon é o produto |x|\cdot|x-2|. Então precisamos controlar esse produto escolhendo \delta apropriado.
Passo 3
Uma técnica padrão é controlar |x| impondo que x esteja num intervalo pequeno em torno de 2. Por exemplo, se garantirmos que
|x-2|<1,
então podemos majorar |x| por algo simples. Usando a desigualdade triangular:
|x| = |(x-2)+2| \le |x-2| + 2 < 1 + 2 = 3.
Logo, sempre que |x-2|<1 teremos |x|<3.
Passo 4
Usando a estimativa anterior, quando |x-2|<1 vale
\bigl|f(x)-3\bigr| = |x||x-2| < 3\,|x-2|.
Queremos que \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon. Uma forma suficiente de garantir isso é pedir
Verificação final: seja qualquer \varepsilon>0 e tome este \delta. Se 0<|x-2|<\delta, então em particular |x-2|<1 (pela escolha do mínimo) e |x-2|<\varepsilon/3. Pelo passo anterior,
Isso mostra exatamente a condição da definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta acima) tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-3|<\varepsilon.