Prove os seguintes limites pela definição:
\lim _{x \rightarrow 2} x^{2}-2 x+3=3

Passo 1

O enunciado pede que se prove o limite
\lim_{x\to 2} x^{2}-2x+3 = 3.
Ou seja, preciso mostrar, usando a definição formal de limite (épsilon–delta), que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<\delta, então
\bigl|x^{2}-2x+3-3\bigr|<\varepsilon.
Vou listar as informações dadas de forma clara:
  • Função: f(x)=x^{2}-2x+3.
  • Ponto de interesse: x\to 2.
  • Valor candidato do limite: L=3.
  • Objetivo: para cada \varepsilon>0 encontrar \delta>0 que satisfaça a condição da definição.

Passo 2

Começo simplificando a expressão que precisa ficar pequena. Subtraindo 3 de f(x):
f(x)-3 = x^{2}-2x+3-3 = x^{2}-2x.
Fatorando:
x^{2}-2x = x(x-2).
Portanto, em módulo,
\bigl|f(x)-3\bigr| = |x^{2}-2x| = |x||x-2|.
Explicando: a expressão que queremos tornar menor que \varepsilon é o produto |x|\cdot|x-2|. Então precisamos controlar esse produto escolhendo \delta apropriado.

Passo 3

Uma técnica padrão é controlar |x| impondo que x esteja num intervalo pequeno em torno de 2. Por exemplo, se garantirmos que
|x-2|<1,
então podemos majorar |x| por algo simples. Usando a desigualdade triangular:
|x| = |(x-2)+2| \le |x-2| + 2 < 1 + 2 = 3.
Logo, sempre que |x-2|<1 teremos |x|<3.

Passo 4

Usando a estimativa anterior, quando |x-2|<1 vale
\bigl|f(x)-3\bigr| = |x||x-2| < 3\,|x-2|.
Queremos que \bigl|f(x)-3\bigr|<\varepsilon. Uma forma suficiente de garantir isso é pedir
3\,|x-2| < \varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x-2| < \frac{\varepsilon}{3}.
Portanto, se exigirmos simultaneamente |x-2|<1 e |x-2|<\varepsilon/3, teremos a conclusão desejada.

Passo 5

Escolho então
\delta = \min\left\{1,\frac{\varepsilon}{3}\right\}.
Verificação final: seja qualquer \varepsilon>0 e tome este \delta. Se 0<|x-2|<\delta, então em particular |x-2|<1 (pela escolha do mínimo) e |x-2|<\varepsilon/3. Pelo passo anterior,
\bigl|f(x)-3\bigr| < 3\,|x-2| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição da definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (o \delta acima) tal que 0<|x-2|<\delta implica |f(x)-3|<\varepsilon.

Passo 6

Concluímos, pela definição épsilon–delta, que
\lim_{x\to 2} x^{2}-2x+3 = 3.

Resposta

3

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