1. Mostre que uma solução implícita de
2 x sen^2 y d x-(x^2+10) cos y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2xsen^2y,dx ;-;(x^2+10)cos y,dy=0
e pede uma solução implícita. O conteúdo aqui é “variáveis separáveis”: vamos tratar x como função de y, isolar tfracdxdy e separar fatores de x de fatores de y.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada,
2xsen^2y,dx = (x^2+10)cos y,dy Longrightarrow dxdy = (x^2+10)cos y2xsen^2y
Agora separamos as variáveis x e y:
2xx^2+10,dx = cos ysen^2y,dy

Passo 3

Integramos ambos os lados.
À esquerda usamos u=x^2+10, du=2x,dx:
integral 2xx^2+10,dx = integral duu = lnl|x^2+10r|
À direita reconhecemos cos ysen^2y=cot ycsc y, cuja integral é -csc y:
integral cos ysen^2y,dy = -1sen y

Passo 4

Juntando os resultados temos
lnl|x^2+10r| = -1sen y + C
para alguma constante C. Podemos escrever a forma mais bonita
lnl(x^2+10r) + csc y = C'

Resposta

boxedlnl(x^2+10r) + csc y = C

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