Resolva as seguintes equações diferenciais por meio de séries de potências em torno de x=0.
y^prime-x^3=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' - x^3 = 0
usando séries de potências em torno de x=0.
O método consiste em supor que a solução y(x) é dada por uma série de potências
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e determinar os coeficientes an de modo que a equação seja satisfeita.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
Então a sua derivada é
y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1),an+1,x^n

Passo 3

Escrevemos também
onde
Substituindo em devem anular-se:

Passo 4

Da relação de recorrência
an+1=bnn+1,
vemos que para nneq3 vale bn=0, logo an+1=0.
Para n=3 temos b3=1, então
a4=b34=14
O coeficiente a0 permanece livre, pois não aparece na relação de recorrência: ele corresponde à constante de integração.

Passo 5

Concluímos que todos os an são zero, exceto
a0=C e a4=14
Portanto a solução em série é
y(x)=a0+a4x^4 =C+x^44

Resposta

y(x)=C+x^44,
onde C é a constante de integração.

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