Resolva:
y e^x y d x+x e^x y d x=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y e^xy,dx + x e^xy,dy = 0
Podemos escrever isso como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=y e^xy, N(x,y)=x e^xy
O conteúdo que vamos usar é o de equações diferenciais exatas.

Passo 2

Para verificar exatidão, comparamos
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculando
partial Mpartial y = partialpartial yl(y e^xyr) = e^xy + xy,e^xy,
partial Npartial x = partialpartial xl(x e^xyr) = e^xy + xy,e^xy
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M e partial Fpartial y=N
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
F(x,y) = integral y e^xy,dx = e^xy + h(y),
onde h(y) é uma função ainda a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), derivamos F em relação a y e igualamos a N:
partial Fpartial y = x e^xy + h'(y) stackrel!= x e^xy
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante. Assim
F(x,y)=e^xy+C1

Resposta

A solução implícita geral da equação diferencial é
e^xy=C,
onde C é constante arbitrária.

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