Use matemática indução para mostrar que se
e
são conjuntos, então
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: queremos provar por indução sobre o inteiro positivo n que, para conjuntos A₁,…,Aₙ e B, vale a igualdade
O conteúdo usado é prova por indução e a lei distributiva de intersecção sobre união para dois conjuntos.
Passo 2
Caso base (n = 1): temos apenas A₁. Então
que coincide com
Logo a igualdade vale trivialmente para n=1.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum k≥1
Passo 4
Passo indutivo (n = k+1): escreva a união dos k+1 conjuntos como
Pela lei distributiva para dois conjuntos, para quaisquer X e Y:
Tomando X=\bigcup_{i=1}^{k}A_{i} e Y=A_{k+1}, temos
Pela hipótese de indução,
Logo
Passo 5
Conclusão: pelo princípio da indução matemática, a igualdade
vale para todo n∈ℕ, n≥1.
Resposta
Logo, por indução, para todo n≥1 temos