Use matemática indução para mostrar que se A1, A2, cdots, An e B são conjuntos, então
(A1 cup A2 cup cdots cup An) cap B=(A1 cap B) cup(A2 cap B) cup cdots cup(An cap B)

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo envolvido: queremos provar por indução sobre o inteiro positivo n que, para conjuntos A₁,…,Aₙ e B, vale a igualdade
l(A1cup A2cup cdotscup Anr)cap B =l(A1cap Br)cupl(A2cap Br)cupcdotscupl(Ancap Br)
O conteúdo usado é prova por indução e a lei distributiva de intersecção sobre união para dois conjuntos.

Passo 2

Caso base (n = 1): temos apenas A₁. Então
(A1)cap B = A1cap B,
que coincide com
A1cap B
Logo a igualdade vale trivialmente para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum k≥1
l(A1cup A2cup cdotscup Akr)cap B =l(A1cap Br)cupl(A2cap Br)cupcdotscupl(Akcap Br)

Passo 4

Passo indutivo (n = k+1): escreva a união dos k+1 conjuntos como
cupi=1^k+1Ai =l(cupi=1^kAir)cup Ak+1
Pela lei distributiva para dois conjuntos, para quaisquer X e Y:
(Xcup Y)cap B = (Xcap B)cup(Ycap B)
Tomando X=\bigcup_{i=1}^{k}A_{i} e Y=A_{k+1}, temos
l(cupi=1^k+1Air)cap B =l(cupi=1^kAicup Ak+1r)cap B =l(cupi=1^kAir)cap B;cup;(Ak+1cap B)
Pela hipótese de indução,
l(cupi=1^kAir)cap B =cupi=1^k(Aicap B)
Logo
l(cupi=1^k+1Air)cap B =cupi=1^k(Aicap B);cup;(Ak+1cap B) =cupi=1^k+1(Aicap B)

Passo 5

Conclusão: pelo princípio da indução matemática, a igualdade
l(A1cup A2cup cdotscup Anr)cap B =l(A1cap Br)cupl(A2cap Br)cupcdotscupl(Ancap Br)
vale para todo n∈ℕ, n≥1.

Resposta

Logo, por indução, para todo n≥1 temos
l(A1cup A2cup cdotscup Anr)cap B =l(A1cap Br)cupl(A2cap Br)cupcdotscupl(Ancap Br)

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