Mostre que \sqrt{2} é irracional. Existe alguma base de numeração em que \sqrt{2} tenha uma representação finita?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. Mostrar que \sqrt{2} é irracional.
  2. Perguntar se existe alguma base de numeração em que \sqrt{2} tenha representação finita.
Informações dadas: nenhuma além do número \sqrt{2}. Vou provar a irracionalidade e depois explicar o que significa “representação finita em uma base” e aplicar isso ao caso de \sqrt{2}.

Passo 2

Prova clássica por contradição de que \sqrt{2} é irracional (passo a passo, sem pular nada).
Suponha, por contradição, que \sqrt{2} seja racional. Então existem inteiros p e q não nulos tais que \sqrt{2}=\dfrac{p}{q}. Podemos assumir que a fração está na forma irredutível, isto é, p e q não têm divisor comum maior que 1 (ou seja, \gcd(p,q)=1).
Escrevendo a igualdade e elevando ao quadrado obtemos:
\sqrt{2}=\frac{p}{q}\quad\Rightarrow\quad 2=\frac{p^2}{q^2}\quad\Rightarrow\quad 2q^2=p^2.
Da última igualdade vemos que p^2 é par (pois é igual a 2q^2). Agora uso um fato simples sobre paridade:
Lema: se x^2 é par então x é par.
Prova do lema (detalhada): suponha x ímpar; então x=2k+1 para algum inteiro k. Então
x^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1,
que é ímpar. Logo, se x^2 fosse par, x não pode ser ímpar; portanto x é par. (Fim do lema.)
Aplicando o lema a p: como p^2 é par então p é par. Logo existe inteiro r tal que p=2r. Substituindo em 2q^2=p^2 obtemos:
2q^2=(2r)^2=4r^2\quad\Rightarrow\quad q^2=2r^2.
Assim q^2 é par, e pelo mesmo lema segue que q é par.
Concluímos que p e q são ambos pares, ou seja, têm o fator 2 comum. Isso contradiz a hipótese de que a fração p/q estava na forma irredutível ( \gcd(p,q)=1). A contradição vem da suposição inicial de que \sqrt{2} é racional. Portanto \sqrt{2} é irracional.

Passo 3

Agora explico o que significa “ter representação finita em uma base” e as consequências.
Definição e propriedade essencial:
  • Em uma base b>1 (posicional), um número tem representação finita com exatamente m casas fracionárias se e somente se ele pode ser escrito como um inteiro dividido por b^m. Mais formalmente, se a expansão finita em base b for
a_n a_{n-1}\dots a_0 . a_{-1} a_{-2}\dots a_{-m}\quad(\text{cada }a_k\text{ é dígito}),éí
então seu valor é
\sum_{k=-m}^{n} a_k b^k = \frac{N}{b^m},
onde N=\sum_{k=-m}^{n} a_k b^{k+m} é um inteiro. Logo toda expansão finita em base b representa um número racional da forma \dfrac{N}{b^m}.
Consequência para bases inteiras: se b é inteiro (por exemplo b=2,10,16,\dots), então b^m é um inteiro e qualquer número com expansão finita em base b é um racional cujo denominador (na forma reduzida) divide algum b^m. Em particular, somente números racionais podem ter representação finita em qualquer base convencional: um irracional nunca tem representação finita.

Passo 4

Aplicando ao caso de \sqrt{2}:
Como mostrei no Passo 2, \sqrt{2} é irracional. Pelo argumento do Passo 3, qualquer número com representação finita em uma base posicional é necessariamente racional (pois é da forma inteira dividida por b^m). Portanto, se a base for uma base posicional convencional (em particular, se for qualquer base inteira b\ge 2), é impossível que \sqrt{2} tenha representação finita nessa base.
Observação sobre bases não convencionais: se permitirmos bases reais arbitrárias b>1 (ou seja, permitir que a “base” seja um número irracional), existe uma construção trivial que dá representação finita: escolha b=\sqrt{2}. Na base b=\sqrt{2} o símbolo “10” (um seguido de zero) representa exatamente 1\cdot b^1 + 0 = b = \sqrt{2}. Assim, em bases reais arbitrárias a resposta muda: há, por exemplo, a base b=\sqrt{2} em que \sqrt{2} tem representação finita.
Resumo prático:
  • Se por “base de numeração” entende-se as bases posicionais usuais com base inteira b\ge2, então não — \sqrt{2} não pode ter representação finita em nenhuma dessas bases.
  • Se permitirmos qualquer base real b>1, então sim — por exemplo, em b=\sqrt{2} a representação finita é 10.

Resposta

\sqrt{2} é irracional.
Não existe base inteira b\ge2 em que \sqrt{2} tenha representação finita; se se permitirem bases reais b>1, então sim (por exemplo, em b=\sqrt{2} a representação é 10).

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