Mostre que
é irracional. Existe alguma base de numeração em que
tenha uma representação finita?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- Mostrar que
é irracional. - Perguntar se existe alguma base de numeração em que
tenha representação finita.
Informações dadas: nenhuma além do número
. Vou provar a irracionalidade e depois explicar o que significa “representação finita em uma base” e aplicar isso ao caso de
.
Passo 2
Prova clássica por contradição de que
é irracional (passo a passo, sem pular nada).
Suponha, por contradição, que
seja racional. Então existem inteiros
e
não nulos tais que
. Podemos assumir que a fração está na forma irredutível, isto é,
e
não têm divisor comum maior que
(ou seja,
).
Escrevendo a igualdade e elevando ao quadrado obtemos:
Da última igualdade vemos que
é par (pois é igual a
). Agora uso um fato simples sobre paridade:
Lema: se
é par então
é par.
Prova do lema (detalhada): suponha ímpar; então
para algum inteiro
. Então
Prova do lema (detalhada): suponha
que é ímpar. Logo, se
fosse par,
não pode ser ímpar; portanto
é par. (Fim do lema.)
Aplicando o lema a
: como
é par então
é par. Logo existe inteiro
tal que
. Substituindo em
obtemos:
Assim
é par, e pelo mesmo lema segue que
é par.
Concluímos que
e
são ambos pares, ou seja, têm o fator
comum. Isso contradiz a hipótese de que a fração
estava na forma irredutível (
). A contradição vem da suposição inicial de que
é racional. Portanto
é irracional.
Passo 3
Agora explico o que significa “ter representação finita em uma base” e as consequências.
Definição e propriedade essencial:
- Em uma base
(posicional), um número tem representação finita com exatamente casas fracionárias se e somente se ele pode ser escrito como um inteiro dividido por . Mais formalmente, se a expansão finita em base for
então seu valor é
onde
é um inteiro. Logo toda expansão finita em base
representa um número racional da forma
.
Consequência para bases inteiras: se
é inteiro (por exemplo
), então
é um inteiro e qualquer número com expansão finita em base
é um racional cujo denominador (na forma reduzida) divide algum
. Em particular, somente números racionais podem ter representação finita em qualquer base convencional: um irracional nunca tem representação finita.
Passo 4
Aplicando ao caso de
:
Como mostrei no Passo 2,
é irracional. Pelo argumento do Passo 3, qualquer número com representação finita em uma base posicional é necessariamente racional (pois é da forma inteira dividida por
). Portanto, se a base for uma base posicional convencional (em particular, se for qualquer base inteira
), é impossível que
tenha representação finita nessa base.
Observação sobre bases não convencionais: se permitirmos bases reais arbitrárias
(ou seja, permitir que a “base” seja um número irracional), existe uma construção trivial que dá representação finita: escolha
. Na base
o símbolo “10” (um seguido de zero) representa exatamente
. Assim, em bases reais arbitrárias a resposta muda: há, por exemplo, a base
em que
tem representação finita.
Resumo prático:
- Se por “base de numeração” entende-se as bases posicionais usuais com base inteira
, então não — não pode ter representação finita em nenhuma dessas bases. - Se permitirmos qualquer base real
, então sim — por exemplo, em a representação finita é .
Resposta
Não existe base inteira
em que
tenha representação finita; se se permitirem bases reais
, então sim (por exemplo, em
a representação é
).