Sejam a e q reais e n natural. Mostre que
\sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=a+a q+a q^{2}+\ldots+a q^{n-1}=a \frac{q^{n}-1}{q-1} .
Dê uma demonstração geométrica para o caso q>0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados: a e q são números reais e n é um número natural.
  • Soma que aparece no enunciado:
\sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=a+a q+a q^{2}+\ldots+a q^{n-1}.
  • O que precisa ser mostrado: provar que
\sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=a\frac{q^{n}-1}{q-1}.
  • Pedido extra: apresentar uma demonstração geométrica para o caso q>0.
Observação importante (informação relevante do enunciado): a fórmula escrita com \dfrac{q^{n}-1}{q-1} faz sentido direto quando q\neq1. O caso q=1 deve ser tratado à parte (é simples: soma de n termos iguais a a).

Passo 2

Definição e ideia básica (preparando a demonstração algébrica).
Defina a soma que queremos calcular por uma letra para manipular com clareza:
S=\sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=a+a q+a q^{2}+\cdots+a q^{n-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a é o primeiro termo (um número real).
  • q é a razão (um número real).
  • n é a quantidade de termos (um natural).
    A estratégia clássica é usar multiplicação por q e subtração para provocar cancelamentos entre termos vizinhos. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Multiplicar S por q e escrever as duas somas uma sobre a outra.
Multiplique ambos os lados por q:
qS = a q + a q^{2} + a q^{3} + \cdots + a q^{n}.
Agora escreva S e qS alinhadas (mostrando explicitamente os termos) para ver os cancelamentos:
\begin{aligned} S &= a + a q + a q^{2} + \cdots + a q^{n-1},\\[4pt] qS &= \phantom{a{}}a q + a q^{2} + \cdots + a q^{n-1} + a q^{n}. \end{aligned}
Repare que todos os termos em comum entre S e qS (ou seja, a q, a q^{2},\ldots,a q^{n-1}) aparecem com sinais opostos se subtrairmos as duas somas.]

Passo 4

Subtrair as duas expressões para obter cancelamentos claros.
Calcule S - qS:
S - qS = \bigl(a + a q + a q^{2} + \cdots + a q^{n-1}\bigr) - \bigl(a q + a q^{2} + \cdots + a q^{n-1} + a q^{n}\bigr).
Ao subtrair, todos os termos internos a q, a q^{2},\ldots,a q^{n-1} cancelam, sobrando apenas o primeiro termo da primeira soma e o último termo da segunda soma (com sinal negativo):
S - qS = a - a q^{n}.

Passo 5

Fatorar e isolar S.
No lado esquerdo podemos fatorar S:
S(1 - q) = a - a q^{n}.
Fatorando a no lado direito:
S(1 - q) = a(1 - q^{n}).
Agora, se q\neq 1, divide-se por 1-q. (Se q=1 vamos tratar separadamente.)
Dividindo por 1-q obtemos:
S = a\frac{1 - q^{n}}{1 - q}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 (opção estética comum) dá a forma usual:
S = a\frac{q^{n}-1}{q-1}.
Isso conclui a demonstração algébrica para q\neq 1.

Passo 6

Tratar o caso especial q=1.
Se q=1 então cada termo da soma vale a\cdot 1^{i}=a. Há n termos, logo
\sum_{i=0}^{n-1} a\cdot 1^{i}=a+a+\cdots+a = a n.
Note que a expressão a\frac{q^{n}-1}{q-1} não é diretamente aplicável quando q=1 porque dá divisão por zero; contudo, fazendo o limite \lim_{q\to1} a\frac{q^{n}-1}{q-1} obtém-se a n, compatível com este caso.

Passo 7

Checagem numérica rápida (exemplo para fixar).
Pegue a=1, q=2, n=4. A soma é
1+2+4+8=15.
A fórmula dá
1\cdot\frac{2^{4}-1}{2-1}=\frac{16-1}{1}=15,
confere.

Passo 8

Demonstração geométrica para q>0 (ideia visual com áreas/retângulos).
Vou explicar uma construção geométrica simples que traduz a conta algébrica de forma visual; isso ajuda muito na prova ou para lembrar o truque na hora da prova.
Construção:
  • Considere uma fila de n retângulos, todos com a mesma altura a. O i-ésimo retângulo (começando em i=0) tem largura q^{i}. Assim as larguras são 1,q,q^{2},\dots,q^{n-1}. A área total dessa fila é exatamente
a(1+q+q^{2}+\cdots+q^{n-1})=\sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=S.
  • Agora construa outro conjunto idêntico de retângulos, mas escalado horizontalmente pelo fator q (multiplique cada largura por q). Esse segundo conjunto tem larguras q,q^{2},\dots,q^{n} e mesma altura a; sua área total é qS.
Visualize as duas fileiras alinhadas embaixo uma da outra, com os lados esquerdos alinhados. Quando subtrair a área do conjunto escalado (o de cima) da área do conjunto original (o de baixo), quase todas as tiras verticais coincidem e se cancelam: as tiras de largura q,q^{2},\dots,q^{n-1} aparecem em ambas e desaparecem na diferença. Na diferença sobram somente duas tiras:
  • da primeira fileira sobra a tira de largura 1 (o primeiro retângulo),
  • do segundo (o escalado) sobra com sinal negativo a tira de largura q^{n}.
Logo a diferença de áreas é exatamente a\cdot 1 - a\cdot q^{n}=a(1-q^{n}). Em termos de S isso diz
S - qS = a(1-q^{n}),
que é precisamente a identidade usada na prova algébrica. Dividindo por 1-q (lembrando o caso q\neq1) chega-se a
S = a\frac{1-q^{n}}{1-q}=a\frac{q^{n}-1}{q-1}.
Essa é a demonstração geométrica: os cancelamentos entre as duas fileiras escaladas representam graficamente a subtração algébrica que produz a fórmula fechada. A construção funciona para todo q>0 (se 0<q<1 as tiras vão encolhendo, se q>1 as tiras vão crescendo) e torna evidente de onde vêm os termos restantes 1 e q^{n}.

Resposta

Para q\neq1:\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=a\frac{q^{n}-1}{q-1}.
Para q=1:\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} a q^{i}=a n.

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