Sejam
e
reais e
natural. Mostre que
Dê uma demonstração geométrica para o caso
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados:
e são números reais e é um número natural. - Soma que aparece no enunciado:
- O que precisa ser mostrado: provar que
- Pedido extra: apresentar uma demonstração geométrica para o caso
.
Observação importante (informação relevante do enunciado): a fórmula escrita com
faz sentido direto quando
. O caso
deve ser tratado à parte (é simples: soma de
termos iguais a
).
Passo 2
Definição e ideia básica (preparando a demonstração algébrica).
Defina a soma que queremos calcular por uma letra para manipular com clareza:
Defina a soma que queremos calcular por uma letra para manipular com clareza:
Aqui cada símbolo significa:
-
é o primeiro termo (um número real). -
é a razão (um número real). -
é a quantidade de termos (um natural).
A estratégia clássica é usar multiplicação pore subtração para provocar cancelamentos entre termos vizinhos. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Multiplicar
por
e escrever as duas somas uma sobre a outra.
Multiplique ambos os lados por :
Multiplique ambos os lados por
Agora escreva
e
alinhadas (mostrando explicitamente os termos) para ver os cancelamentos:
Repare que todos os termos em comum entre
e
(ou seja,
) aparecem com sinais opostos se subtrairmos as duas somas.]
Passo 4
Subtrair as duas expressões para obter cancelamentos claros.
Calcule :
Calcule
Ao subtrair, todos os termos internos
cancelam, sobrando apenas o primeiro termo da primeira soma e o último termo da segunda soma (com sinal negativo):
Passo 5
Fatorar e isolar
.
No lado esquerdo podemos fatorar :
No lado esquerdo podemos fatorar
Fatorando
no lado direito:
Agora, se
, divide-se por
. (Se
vamos tratar separadamente.)
Dividindo por obtemos:
Dividindo por
Multiplicando numerador e denominador por
(opção estética comum) dá a forma usual:
Isso conclui a demonstração algébrica para
.
Passo 6
Tratar o caso especial
.
Se então cada termo da soma vale
. Há
termos, logo
Se
Note que a expressão
não é diretamente aplicável quando
porque dá divisão por zero; contudo, fazendo o limite
obtém-se
, compatível com este caso.
Passo 7
Checagem numérica rápida (exemplo para fixar).
Pegue ,
,
. A soma é
Pegue
A fórmula dá
confere.
Passo 8
Demonstração geométrica para
(ideia visual com áreas/retângulos).
Vou explicar uma construção geométrica simples que traduz a conta algébrica de forma visual; isso ajuda muito na prova ou para lembrar o truque na hora da prova.
Vou explicar uma construção geométrica simples que traduz a conta algébrica de forma visual; isso ajuda muito na prova ou para lembrar o truque na hora da prova.
Construção:
- Considere uma fila de
retângulos, todos com a mesma altura . O -ésimo retângulo (começando em ) tem largura . Assim as larguras são . A área total dessa fila é exatamente
- Agora construa outro conjunto idêntico de retângulos, mas escalado horizontalmente pelo fator
(multiplique cada largura por ). Esse segundo conjunto tem larguras e mesma altura ; sua área total é .
Visualize as duas fileiras alinhadas embaixo uma da outra, com os lados esquerdos alinhados. Quando subtrair a área do conjunto escalado (o de cima) da área do conjunto original (o de baixo), quase todas as tiras verticais coincidem e se cancelam: as tiras de largura
aparecem em ambas e desaparecem na diferença. Na diferença sobram somente duas tiras:
- da primeira fileira sobra a tira de largura
(o primeiro retângulo), - do segundo (o escalado) sobra com sinal negativo a tira de largura
.
Logo a diferença de áreas é exatamente
. Em termos de
isso diz
que é precisamente a identidade usada na prova algébrica. Dividindo por
(lembrando o caso
) chega-se a
Essa é a demonstração geométrica: os cancelamentos entre as duas fileiras escaladas representam graficamente a subtração algébrica que produz a fórmula fechada. A construção funciona para todo
(se
as tiras vão encolhendo, se
as tiras vão crescendo) e torna evidente de onde vêm os termos restantes
e
.
Resposta
Para
Para
Para