O que você acha do seguinte “paradoxo”’ de Zenon: o guerreiro Aquiles nunca conseguirá alcançar uma tartaruga, já que, para fazê-lo, terá primeiro que percorrer a distância que os separa; porém, ao chegar a este ponto, a tartaruga já terá andado um pouco, de forma que será necessário percorrer a nova distância; novamente, porém, a tartaruga terá andado, e assim sucessivamente.

Passo 1

Vou deixar claro o que o “paradoxo” pergunta e quais dados podemos usar para analisá‑lo. A narrativa diz que Aquiles (o corredor rápido) tenta alcançar uma tartaruga que tem uma vantagem inicial. O que se pergunta implicitamente é: Aquiles efetivamente alcança a tartaruga? Se sim, quando e onde isso acontece?
Dados que extraio da descrição (vou chamar as quantidades por letras para poder calcular):
  • A tartaruga tem uma vantagem inicial de distância d_0>0 à frente de Aquiles. (Peguei essa informação do próprio enunciado: “a distância que os separa”.)
  • A velocidade de Aquiles é v_A>0.
  • A velocidade da tartaruga é v_T com 0\le v_T<v_A (isto é, a tartaruga é mais lenta; esse é o caso típico do paradoxo).
    O enunciado pede que a gente avalie se a sequência de “pequenos trechos” que Zeno descreve impede Aquiles de alcançá‑la. Não há números específicos no enunciado, então trabalho com as variáveis acima.

Passo 2

Modelagem do movimento e primeiro pedaço de tempo. Vou escrever as posições em função do tempo (modelo linear e contínuo, o mais simples e adequado aqui):
  • Posição de Aquiles: \;x_A(t)=v_A t, assumindo que Aquiles começa na origem x=0 em t=0.
  • Posição da tartaruga: \;x_T(t)=d_0+v_T t.
    Para começar a imitar a descrição de Zeno, calcule o tempo que Aquiles precisa para chegar ao ponto onde a tartaruga estava em t=0 (isto é, à posição x=d_0):
t_1=\frac{d_0}{v_A}.
Esse é o primeiro “trechinho” que Zeno conta: Aquiles percorre a distância inicial d_0.

Passo 3

Ver quanto a tartaruga avançou enquanto Aquiles fazia o primeiro trecho. Durante t_1 a tartaruga andou uma distância
\Delta x_1 = v_T t_1 = v_T\frac{d_0}{v_A} = d_0\frac{v_T}{v_A}.
Então, ao final do primeiro trecho, a nova folga entre eles é \;d_1 = \Delta x_1 = d_0\frac{v_T}{v_A}. Agora, seguindo a mesma ideia de Zeno, Aquiles precisa percorrer d_1 para alcançar o novo ponto onde a tartaruga estava quando ele chegou ao ponto inicial da tartaruga. O tempo para isso é
t_2=\frac{d_1}{v_A}=\frac{d_0}{v_A}\cdot\frac{v_T}{v_A}=t_1\cdot\frac{v_T}{v_A}.

Passo 4

Generalização do padrão: continua esse processo indefinidamente. Depois do segundo trecho a tartaruga terá avançado mais um pedaço, a folga será multiplicada novamente por \dfrac{v_T}{v_A}. Assim obtemos uma sequência de tempos a serem gastos por Aquiles nos “trechinhos”:
t_1=\frac{d_0}{v_A},\qquad t_2=t_1\cdot r,\qquad t_3=t_1\cdot r^2,\qquad\ldots,\qquad t_n=t_1\cdot r^{\,n-1},
onde defini r=\dfrac{v_T}{v_A}. Como v_T<v_A, temos 0\le r<1. Note que cada novo tempo é menor que o anterior — é exatamente a ideia de Zeno: uma soma infinita de trechos cada vez menores.

Passo 5

Soma total dos tempos até o “infinito” de trechos. Zeno pensa que, por haver infinitos trechos, é impossível alcançar; mas matematicamente devemos somar todos os t_n e ver se essa soma é finita ou infinita. A soma total dos tempos é a série geométrica
T=\sum_{n=1}^{\infty} t_n = t_1\sum_{n=0}^{\infty} r^{\,n}.
Agora um pequeno “mini‑aula” sobre séries geométricas: para 0\le r<1 vale a fórmula clássica
\sum_{n=0}^{\infty} r^{\,n}=\frac{1}{1-r}.
Uma maneira simples de ver isso é calcular a soma parcial S_N=1+r+\cdots+r^{N}=\dfrac{1-r^{N+1}}{1-r} e então tomar o limite N\to\infty. Como 0\le r<1, temos r^{N+1}\to0 quando N\to\infty, ficando S_{\infty}=\dfrac{1}{1-r}. Isso mostra que uma soma com infinitos termos pode ser finita quando os termos diminuem geometricamente.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao nosso problema:
T = t_1\cdot\frac{1}{1-r}=\frac{d_0/v_A}{1-\tfrac{v_T}{v_A}}=\frac{d_0}{v_A-v_T}.
Portanto a soma infinita dos pequenos tempos tem um valor finito \;T=\dfrac{d_0}{v_A-v_T}. Esse é o instante (finito) em que Aquiles alcança a tartaruga segundo o cálculo da soma dos trechos de Zeno.

Passo 7

Consistência com a equação direta das posições. Podemos também resolver diretamente por álgebra pura: achar t tal que x_A(t)=x_T(t). Igualando as posições:
v_A t = d_0 + v_T t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{d_0}{v_A-v_T}.
É exactamente o mesmo T da soma geométrica. Ou seja, não há contradição: tanto somando os infinitos pedaços quanto resolvendo a equação de movimento contínuo obtemos um tempo finito.

Passo 8

Explicação conceitual (onde Zeno “erra”): Zeno vê uma contagem infinita de tarefas (ir da posição atual da tartaruga até o próximo ponto em que ela esteve) e conclui que “infinitas tarefas = impossível terminar”. Mas essa conclusão confunde duas coisas distintas:
  • a cardinalidade (há infinitos subtrechos) e
  • a soma das durações (a soma dos tempos pode convergir para um valor finito).
    Matematicamente, um número infinito de parcelas pode ter soma finita quando as parcelas diminuem rápido o suficiente (como numa progressão geométrica com razão r tal que |r|<1). Em termos de limite: temos uma sequência de somas parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} t_n e S_N converge para T quando N\to\infty. Concluir que “infinitas parcelas” é sinônimo de “infinito” é um erro informal.

Passo 9

Comentário físico e filosófico breve e motivador. Do ponto de vista da física e da matemática moderna, movimento é descrito por funções contínuas do tempo e a existência de divisões arbitrariamente pequenas no espaço e no tempo não impede a ocorrência de eventos em tempos finitos. Filosoficamente há discussões sobre infinito atual vs potencial, mas a matemática dá ferramentas (números reais, limites, séries) que tratam essas situações com precisão. Em escalas extremas (muito pequenas) a física real pode exigir teorias diferentes (por exemplo, efeitos quânticos), mas isso não muda a resolução matemática do paradoxo no contexto clássico.

Resposta

Aquiles alcança a tartaruga em tempo finito T=\dfrac{d_0}{v_A-v_T}.

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