O que você acha do seguinte “paradoxo”’ de Zenon: o guerreiro Aquiles nunca conseguirá alcançar uma tartaruga, já que, para fazê-lo, terá primeiro que percorrer a distância que os separa; porém, ao chegar a este ponto, a tartaruga já terá andado um pouco, de forma que será necessário percorrer a nova distância; novamente, porém, a tartaruga terá andado, e assim sucessivamente.
Passo 1
Vou deixar claro o que o “paradoxo” pergunta e quais dados podemos usar para analisá‑lo. A narrativa diz que Aquiles (o corredor rápido) tenta alcançar uma tartaruga que tem uma vantagem inicial. O que se pergunta implicitamente é: Aquiles efetivamente alcança a tartaruga? Se sim, quando e onde isso acontece?
Dados que extraio da descrição (vou chamar as quantidades por letras para poder calcular):
Dados que extraio da descrição (vou chamar as quantidades por letras para poder calcular):
- A tartaruga tem uma vantagem inicial de distância
à frente de Aquiles. (Peguei essa informação do próprio enunciado: “a distância que os separa”.) - A velocidade de Aquiles é
. - A velocidade da tartaruga é
com (isto é, a tartaruga é mais lenta; esse é o caso típico do paradoxo).
O enunciado pede que a gente avalie se a sequência de “pequenos trechos” que Zeno descreve impede Aquiles de alcançá‑la. Não há números específicos no enunciado, então trabalho com as variáveis acima.
Passo 2
Modelagem do movimento e primeiro pedaço de tempo. Vou escrever as posições em função do tempo (modelo linear e contínuo, o mais simples e adequado aqui):
- Posição de Aquiles:
, assumindo que Aquiles começa na origem em . - Posição da tartaruga:
.
Para começar a imitar a descrição de Zeno, calcule o tempo que Aquiles precisa para chegar ao ponto onde a tartaruga estava em(isto é, à posição ):
Esse é o primeiro “trechinho” que Zeno conta: Aquiles percorre a distância inicial
.
Passo 3
Ver quanto a tartaruga avançou enquanto Aquiles fazia o primeiro trecho. Durante
a tartaruga andou uma distância
Então, ao final do primeiro trecho, a nova folga entre eles é
. Agora, seguindo a mesma ideia de Zeno, Aquiles precisa percorrer
para alcançar o novo ponto onde a tartaruga estava quando ele chegou ao ponto inicial da tartaruga. O tempo para isso é
Passo 4
Generalização do padrão: continua esse processo indefinidamente. Depois do segundo trecho a tartaruga terá avançado mais um pedaço, a folga será multiplicada novamente por
. Assim obtemos uma sequência de tempos a serem gastos por Aquiles nos “trechinhos”:
onde defini
. Como
, temos
. Note que cada novo tempo é menor que o anterior — é exatamente a ideia de Zeno: uma soma infinita de trechos cada vez menores.
Passo 5
Soma total dos tempos até o “infinito” de trechos. Zeno pensa que, por haver infinitos trechos, é impossível alcançar; mas matematicamente devemos somar todos os
e ver se essa soma é finita ou infinita. A soma total dos tempos é a série geométrica
Agora um pequeno “mini‑aula” sobre séries geométricas: para
vale a fórmula clássica
Uma maneira simples de ver isso é calcular a soma parcial
e então tomar o limite
. Como
, temos
quando
, ficando
. Isso mostra que uma soma com infinitos termos pode ser finita quando os termos diminuem geometricamente.
Passo 6
Aplicando a fórmula ao nosso problema:
Portanto a soma infinita dos pequenos tempos tem um valor finito
. Esse é o instante (finito) em que Aquiles alcança a tartaruga segundo o cálculo da soma dos trechos de Zeno.
Passo 7
Consistência com a equação direta das posições. Podemos também resolver diretamente por álgebra pura: achar
tal que
. Igualando as posições:
É exactamente o mesmo
da soma geométrica. Ou seja, não há contradição: tanto somando os infinitos pedaços quanto resolvendo a equação de movimento contínuo obtemos um tempo finito.
Passo 8
Explicação conceitual (onde Zeno “erra”): Zeno vê uma contagem infinita de tarefas (ir da posição atual da tartaruga até o próximo ponto em que ela esteve) e conclui que “infinitas tarefas = impossível terminar”. Mas essa conclusão confunde duas coisas distintas:
- a cardinalidade (há infinitos subtrechos) e
- a soma das durações (a soma dos tempos pode convergir para um valor finito).
Matematicamente, um número infinito de parcelas pode ter soma finita quando as parcelas diminuem rápido o suficiente (como numa progressão geométrica com razãotal que ). Em termos de limite: temos uma sequência de somas parciais e converge para quando . Concluir que “infinitas parcelas” é sinônimo de “infinito” é um erro informal.
Passo 9
Comentário físico e filosófico breve e motivador. Do ponto de vista da física e da matemática moderna, movimento é descrito por funções contínuas do tempo e a existência de divisões arbitrariamente pequenas no espaço e no tempo não impede a ocorrência de eventos em tempos finitos. Filosoficamente há discussões sobre infinito atual vs potencial, mas a matemática dá ferramentas (números reais, limites, séries) que tratam essas situações com precisão. Em escalas extremas (muito pequenas) a física real pode exigir teorias diferentes (por exemplo, efeitos quânticos), mas isso não muda a resolução matemática do paradoxo no contexto clássico.
Resposta
Aquiles alcança a tartaruga em tempo finito
.