Sejam
e
dois números reais e
um natural. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
e são números reais. -
é um número natural (isto é, ).
O que precisa ser mostrado é a igualdade
Vou provar essa identidade de forma didática, cobrindo o caso
e o caso
, e explicando cada passo e as propriedades algébricas usadas.
Passo 2
Caso trivial:
.
Se
, então o lado esquerdo é
No lado direito aparece o fator
, que é
quando
. O outro fator é
que é um número finito (igual a
nesse caso), mas multiplicado por
dá
. Portanto a igualdade vale quando
.
Dica rápida: sempre que aparecer um fator comum multiplicando uma soma, e esse fator for zero, o produto é zero.
Dica rápida: sempre que aparecer um fator comum multiplicando uma soma, e esse fator for zero, o produto é zero.
Passo 3
Agora suponha
. Para escrever a soma do lado direito de maneira compacta, defina
Queremos mostrar que
A estratégia é aplicar a distributiva e observar um cancelamento em “telescópio” entre termos.
Passo 4
Calcule separadamente
e
usando a definição de
.
Primeiro,
Escrevendo os termos explicitamente isto dá
Segundo,
Se reindexarmos (ou apenas escrevendo os termos) obtemos
Passo 5
Subtraia as duas somas para obter
:
Agora substitua as expressões de
e
:
Observe que todos os termos intermediários aparecem com sinal
na primeira soma e com sinal
na segunda soma, então eles se cancelam par a par:
Ficam apenas os termos extremais:
Isto é exatamente a identidade que queríamos provar, no caso
.
Passo 6
Comentário pedagógico (intuição e alternativas simples):
- O que fizemos é um cancelamento telescópico: expandimos o produto e vimos que os termos do meio se eliminam. Esse é o jeito mais direto e elementar.
- Outra visão: a soma
é uma soma geométrica (razão se ), e a fórmula usual da soma geométrica dá ; aqui reescrevemos essa igualdade multiplicando ambos os lados por . Mas a prova por cancelamento que fiz acima não usa a fórmula pronta e é auto-contida. - Também se pode justificar a identidade usando propriedades de polinômios: a função
tem raiz , logo é divisível por , e o quociente é exatamente o polinômio . Essa é uma explicação conceitual mais avançada (teoria dos polinômios), que corresponde ao mesmo cálculo algébrico que fizemos.