Sejam a e b dois números reais e n um natural. Mostre que
a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+\ldots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right) .

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • a e b são números reais.
  • n é um número natural (isto é, n\in\mathbb{N}).
    O que precisa ser mostrado é a igualdade
a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right).
Vou provar essa identidade de forma didática, cobrindo o caso a=b e o caso a\neq b, e explicando cada passo e as propriedades algébricas usadas.

Passo 2

Caso trivial: a=b.
Se a=b, então o lado esquerdo é
a^{n}-b^{n}=a^{n}-a^{n}=0.
No lado direito aparece o fator (a-b), que é 0 quando a=b. O outro fator é
a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1},
que é um número finito (igual a n a^{n-1} nesse caso), mas multiplicado por (a-b)=0 0. Portanto a igualdade vale quando a=b.
Dica rápida: sempre que aparecer um fator comum multiplicando uma soma, e esse fator for zero, o produto é zero.

Passo 3

Agora suponha a\neq b. Para escrever a soma do lado direito de maneira compacta, defina
S=\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-1-k}b^{\,k}=a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}.
Queremos mostrar que
(a-b)S=a^{n}-b^{n}.
A estratégia é aplicar a distributiva e observar um cancelamento em “telescópio” entre termos.

Passo 4

Calcule separadamente aS e bS usando a definição de S.
Primeiro,
aS=a\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-1-k}b^{\,k}=\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-k}b^{\,k}.
Escrevendo os termos explicitamente isto dá
aS=a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\ldots+ab^{n-1}.
Segundo,
bS=b\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-1-k}b^{\,k}=\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-1-k}b^{\,k+1}.
Se reindexarmos (ou apenas escrevendo os termos) obtemos
bS=a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\ldots+ab^{n-1}+b^{n}.

Passo 5

Subtraia as duas somas para obter (a-b)S:
(a-b)S=aS-bS.
Agora substitua as expressões de aS e bS:
(a-b)S=\bigl(a^{n}+a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\ldots+ab^{n-1}\bigr) -\bigl(a^{n-1}b+a^{n-2}b^{2}+\ldots+ab^{n-1}+b^{n}\bigr).
Observe que todos os termos intermediários aparecem com sinal + na primeira soma e com sinal - na segunda soma, então eles se cancelam par a par:
a^{n-1}b-a^{n-1}b=0,\qquad a^{n-2}b^{2}-a^{n-2}b^{2}=0,\qquad\ldots,\qquad ab^{n-1}-ab^{n-1}=0.
Ficam apenas os termos extremais:
(a-b)S=a^{n}-b^{n}.
Isto é exatamente a identidade que queríamos provar, no caso a\neq b.

Passo 6

Comentário pedagógico (intuição e alternativas simples):
  • O que fizemos é um cancelamento telescópico: expandimos o produto e vimos que os termos do meio se eliminam. Esse é o jeito mais direto e elementar.
  • Outra visão: a soma S é uma soma geométrica (razão b/a se a\neq0), e a fórmula usual da soma geométrica dá S=(a^{n}-b^{n})/(a-b); aqui reescrevemos essa igualdade multiplicando ambos os lados por a-b. Mas a prova por cancelamento que fiz acima não usa a fórmula pronta e é auto-contida.
  • Também se pode justificar a identidade usando propriedades de polinômios: a função x\mapsto x^{n}-b^{n} tem raiz x=b, logo é divisível por x-b, e o quociente é exatamente o polinômio x^{n-1}+x^{n-2}b+\dots+b^{n-1}. Essa é uma explicação conceitual mais avançada (teoria dos polinômios), que corresponde ao mesmo cálculo algébrico que fizemos.

Resposta

a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)

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