Verifique se são subgrupos:
de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
, um subconjunto de . - Pedido: verificar se
é um subgrupo do grupo .
Informações relevantes que vou usar (listadas, sem começar a resolver ainda):
- A definição prática de subgrupo em um grupo com operação
: um subconjunto é subgrupo se contém o elemento neutro , é fechado sob soma (se então ) e é fechado sob inverso aditivo (se então ). Uma forma útil equivalente é checar que e que, para todo , tem-se (fechamento por subtração). - Propriedade que será usada:
é fechado sob soma e sob inverso aditivo (ou seja, soma e negativo de racionais são racionais).
Passo 2
Checar que
não é vazio e que contém o elemento neutro
.
Explicação e detalhes:
- O elemento neutro do grupo
é . - Tomando
e com (ambos racionais), obtém-se o número
- Portanto
contém e não é vazio.
Passo 3
Checar fechamento por soma: se
então
.
Explicação passo a passo:
- Seja
. Por definição existe tais que
- Seja
. Por definição existe tais que
- Somando
e ,
- Como
é fechado sob adição, e . Logo tem a forma , isto é,
- Conclusão:
é fechado sob soma.
(Dica prática para a prova: quando um conjunto é formado por combinações lineares com coeficientes em um conjunto fechado por soma, a soma de dois elementos tem coeficientes somados — verificar fechamento dos coeficientes resolve o passo.)
Passo 4
Checar fechamento por inverso aditivo: se
então
.
Explicação passo a passo:
- Pegue
com , . - O inverso aditivo é
- Como
é fechado sob tomar o negativo, temos e . - Portanto
também tem a forma , isto é,
- Conclusão:
contém inversos aditivos de seus elementos.
Passo 5
Conclusão final da verificação e observação adicional didática.
- Já mostramos que
, que é fechado sob soma e que é fechado sob inversos aditivos. Esses três fatos garantem que é um subgrupo de . - Observação útil para entendimento:
é exatamente o conjunto das combinações lineares de e com coeficientes racionais, isto é, . Isso mostra por que fechar por soma e inverso é tão natural aqui — somar ou negar duas combinações lineares dá outra combinação linear com coeficientes racionais.
Resposta
Sim.
é subgrupo de
.