Verifique se são subgrupos:
S=\{a+b \sqrt{2}: a, b \in \mathbb{Q}\} de (\mathbb{R},+).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: S=\{a+b\sqrt{2}: a,b\in\mathbb{Q}\}, um subconjunto de \mathbb{R}.
  • Pedido: verificar se S é um subgrupo do grupo (\mathbb{R},+).
Informações relevantes que vou usar (listadas, sem começar a resolver ainda):
  • A definição prática de subgrupo em um grupo com operação +: um subconjunto H é subgrupo se contém o elemento neutro 0, é fechado sob soma (se x,y\in H então x+y\in H) e é fechado sob inverso aditivo (se x\in H então -x\in H). Uma forma útil equivalente é checar que H\neq\emptyset e que, para todo x,y\in H, tem-se x-y\in H (fechamento por subtração).
  • Propriedade que será usada: \mathbb{Q} é fechado sob soma e sob inverso aditivo (ou seja, soma e negativo de racionais são racionais).

Passo 2

Checar que S não é vazio e que contém o elemento neutro 0.
Explicação e detalhes:
  • O elemento neutro do grupo (\mathbb{R},+) é 0.
  • Tomando a=0 e b=0 com a,b\in\mathbb{Q} (ambos racionais), obtém-se o número
0 = 0 + 0\sqrt{2}\in S.
  • Portanto S contém 0 e não é vazio.

Passo 3

Checar fechamento por soma: se x,y\in S então x+y\in S.
Explicação passo a passo:
  • Seja x\in S. Por definição existe a,b\in\mathbb{Q} tais que
x = a + b\sqrt{2}.
  • Seja y\in S. Por definição existe c,d\in\mathbb{Q} tais que
y = c + d\sqrt{2}.
  • Somando x e y,
x+y = (a+c) + (b+d)\sqrt{2}.
  • Como \mathbb{Q} é fechado sob adição, (a+c)\in\mathbb{Q} e (b+d)\in\mathbb{Q}. Logo x+y tem a forma \text{racional} + \text{racional}\cdot\sqrt{2}, isto é,
x+y \in S.
  • Conclusão: S é fechado sob soma.
(Dica prática para a prova: quando um conjunto é formado por combinações lineares com coeficientes em um conjunto fechado por soma, a soma de dois elementos tem coeficientes somados — verificar fechamento dos coeficientes resolve o passo.)

Passo 4

Checar fechamento por inverso aditivo: se x\in S então -x\in S.
Explicação passo a passo:
  • Pegue x\in S com x=a+b\sqrt{2}, a,b\in\mathbb{Q}.
  • O inverso aditivo é
-x = -a + (-b)\sqrt{2}.
  • Como \mathbb{Q} é fechado sob tomar o negativo, temos -a\in\mathbb{Q} e -b\in\mathbb{Q}.
  • Portanto -x também tem a forma \text{racional} + \text{racional}\cdot\sqrt{2}, isto é,
-x \in S.
  • Conclusão: S contém inversos aditivos de seus elementos.

Passo 5

Conclusão final da verificação e observação adicional didática.
  • Já mostramos que 0\in S, que S é fechado sob soma e que S é fechado sob inversos aditivos. Esses três fatos garantem que S é um subgrupo de (\mathbb{R},+).
  • Observação útil para entendimento: S é exatamente o conjunto das combinações lineares de 1 e \sqrt{2} com coeficientes racionais, isto é, S=\{a\cdot 1 + b\cdot\sqrt{2}: a,b\in\mathbb{Q}\}. Isso mostra por que fechar por soma e inverso é tão natural aqui — somar ou negar duas combinações lineares dá outra combinação linear com coeficientes racionais.

Resposta

Sim. S é subgrupo de (\mathbb{R},+).

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